Mi a különbség az antiderivatív és az integrál között?

Nincs különbség, a két szó szinonimája.

Ez pár dologtól függ. Melyik antiderivatív, általános vagy egy konkrét? határozott vagy határozatlan? És ki kérdezzük?

Általános ellentétes és határozatlan integrál:

Sok matematikus nem különbözteti meg a határozatlan integrátumot és az általános antiderivatívot. Mindkét esetben a funkció # F # a válasz #F (x) +, C # hol #F '(x) = f (x) #..

Néhány (például a tankönyv szerzője, James Stewart) különbséget tesz. Amit Stewart a "legáltalánosabb" antiderivatívnak nevez # F #, elfogadja a különböző konstansokat minden # F #. Például azt válaszolná, hogy a legáltalánosabb # 1 / x ^ 2 # egy részlegesen definiált függvény:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # mert #X <0 # és # (- 1) / x + C_2 # mert #X> 0 #.

A. T # F #ebben a kezelésben mindig egy bizonyos időközönként antiderivatív # F # folyamatos.

Így #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #ahol megértjük, hogy a tartomány a pozitív realsok vagy a negatív realsok egy részhalmazára korlátozódik.

Különleges melléktermékek

Egy különleges antivigáns # F # függvény # F # (a funkciók családja helyett) #F '(x) = f (x) #.

Például:

#F (x) = (- 1) / X + 5 # mert #X <0 # és # (- 1) / x + 1 # mert #X> 0 #.

egy különösen ellenálló szer #f (x) = 1 / x ^ 2 #

És:

#G (x) = (- 1) / X-3 # mert #X <0 # és # (- 1) / x + 6 # mert #X> 0 #.

egy másik, különösen specifikus ellenanyag #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Határozott integrálok

A # F # tól től # A # nak nek # B # nem funkció. Ez egy szám.

Például:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(A dolgok további bonyolítása érdekében ez a határozott integrál megtalálható a Calculus Alapvető Tételének 2. részével, először az / egy határozatlan integrált / általános antiderivatívot találva, majd a somearitmetikával.)

A kérdésed az, ami igazán a "kulcsfontosságú betekintést" jelentett Isaac Newton és Gottfried Leibniz kalkulusának fejlesztésében.

A soha nem negatív funkciókra összpontosítva ezt a betekintést a következőképpen lehet megfogalmazni: "A származékokat használhatjuk megtalálja területek (integrálok) és területek (integrálok) meghatározzák ez a lényeg a Calculus alapelméletének.

Anélkül, hogy aggódnánk a Riemann összegéről (végül is Bernhard Riemann majdnem 200 évvel élt Newton és Leibniz után), és a terület fogalmát intuitív (nem definiált) fogalommá téve, a folyamatos nem negatív funkcióhoz #f (x) 0 mindenkinek #x# val vel #a le x bq, csak gondolj a határozott integrális szimbólumra #__ {a} ^ {b} f (x) dx # mint a # F # és a #x#-axis között # X = A # és # X = b #. Ha egy másik funkció # F # megtalálható úgy, hogy #F '(x) = f (x) # mindenkinek #a le x bq, azután # F # az úgynevezett # F # az intervallum alatt # A, b # és a különbség #F (b) -F (a) # megegyezik a határozott integrál értékével. Ez az, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Ez a tény hasznos lelet egy határozott integrál (terület) értéke, amikor egy antiderivatív képlet található.

Ezzel ellentétben, ha az integrált szimbólum felső határát változóvá tesszük, hívjuk meg # T #, és adjon meg egy funkciót # F # a képlet szerint #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (így #F (t) # valóban a terület a grafikon alatt # F # között # X = A # és # X = t #, feltételezve #aq tq b #), akkor ez az új funkció # F # jól meghatározott, differenciálható és #F '(t) = f (t) # minden számhoz # T # között # A # és # B #. Egy integrált elemet használtunk meghatározzák egy # F #. Ez a tény hasznos, ha közelítünk egy antiderivatív értékhez, ha nem találunk képletet (numerikus integrációs módszerekkel, mint például a Simpson szabálya). Például a statisztikai szakemberek mindig használják a normál görbe alatti területek közelítésével. A standard Normál görbe speciális antiderivatív értékeit gyakran a statisztikai könyvek táblázatában adják meg.

Abban az esetben, ha # F # negatív értékekkel rendelkeznek, a határozott integrátumot „aláírt területek” szempontjából kell elgondolni.