Mik az f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) szélsőséges és nyeregpontjai?

Válasz:

#(0,0)# egy nyeregpont

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # és # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # helyi maximumok

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # és # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # helyi minimumok

# (0, pm 1 / sqrt 2) # és # (pm 1 / sqrt 2,0) # az inflexiós pontok.

Magyarázat:

Általános funkció #F (x, y) # álló ponttal # (X_0, y_0) # van a Taylor sorozat bővítése

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

A funkcióhoz

#f (x) = x y _ ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

nekünk van

# (del f) / (del x) = te ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Könnyű látni, hogy a két első származék eltűnik a következő pontszerekben

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

E helyhez kötött pontok jellegének vizsgálatához meg kell vizsgálnunk a második származékok viselkedését.

Most

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

és hasonlóképpen

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

és

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Így #(0,0)# nekünk van # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # és # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - ennélfogva

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Ha közeledik #(0,0)# a vonal mentén # X = y #, ez lesz

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

és aztán #(0,0)# nyilvánvalóan minimális, ha megközelíted ezt az irányt. Másrészt, ha a vonal mentén közeledik # X = -y # nekünk van

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

és aztán #(0,0)# ez az irány maximális

És így #(0,0)# egy nyeregpont.

mert # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # ez könnyen látható

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # és # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

ami azt jelenti

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Tehát a függvény csökkenni fog attól a módtól, hogy távolodjon # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # és ez egy helyi maximum. Könnyen látható, hogy ugyanez vonatkozik # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (ez nyilvánvaló volt, mivel a funkció ugyanaz marad # (x, y) - (-x, -y) #!

Ismét mindkettő # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # és # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # nekünk van

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # és # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Tehát mindkét pont helyi minimum.

A négy pont # (0, pm 1 / sqrt2) # és # (pm 1 / sqrt2, 0) # sokkal problematikusabbak - mivel az összes másodrendű származékos termék ezekben a pontokban eltűnik. Most meg kell vizsgálnunk a magasabb rendű származékokat. Szerencsére nem igazán kell nagyon keményen dolgoznunk ebből - a következő származékos hozamokból

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

amely mindkettőre nem nulla # (0, pm 1 / sqrt2) # és # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Ez azt jelenti, hogy például

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

ami azt mutatja, hogy ez a növekedés # f (0,1 / sqrt 2) # az egyik irányba, és a másikból csökken. És így # (0,1 / sqrt2) # egy ** -pontos pont. Ugyanez az érv a többi három pontra is érvényes.