Nekünk van:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
2. lépés - A kritikus pontok azonosítása
Kritikus pont fordul elő a
# f_x = f_y = 0 iff (részleges f) / (részleges x) = (részleges f) / (részleges y) = 0 #
azaz amikor:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # egyidejűleg
Ebből megállapíthatjuk:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Ezért megköveteljük, hogy:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Ezután két (végtelen sík) megoldásunk van:
#:. x = + - y #
És így arra következtetünk, hogy a görbe és a két sík metszéspontja mentén végtelen sok kritikus pont van.
3. lépés - A kritikus pontok osztályozása
A kritikus pontok osztályozásához a második részleges származékokat és a Hesseni mátrixot használva egy változó számításhoz hasonló tesztet végzünk.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((részleges ^ 2 f) / (részleges x ^ 2), (részleges ^ 2 f) / (részleges x részleges y)) ((részleges ^ 2 f) / (részleges y részleges x), (részleges ^ 2 f)) / (részleges y ^ 2)) | #
# f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Ezután az értéktől függően
# {: (Delta> 0, "Maximális, ha" f_ (xx) <0), (, "és minimum, ha" f_ (xx)> 0) (Delta <0, "van nyeregpont")) (Delta = 0, "További elemzés szükséges"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4x ^ ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Figyelembe kell vennünk a jelet
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Tehát, a jeltől függően
Itt van egy függvény ábrája
És itt van egy diagram a függvényekről, beleértve a síkokat is
Megértem, hogy a hiperbole az eltúlzás szélsőséges definíciója, de aztán mi is túlzás és mennyire rossz a szélsőséges?
Túlzás, ha jobb vagy rosszabb nyilatkozatot teszel, mint amilyennek valójában. Például, valaki azt mondhatja, hogy "az eső macskák és kutyák", amikor valójában, csak egy könnyű szitálás.
Melyek az f (x, y) = 6 sin x sin y szélsőséges és nyeregpontjai az x, y intervallumban [-pi, pi]?
![Melyek az f (x, y) = 6 sin x sin y szélsőséges és nyeregpontjai az x, y intervallumban [-pi, pi]?](https://img.go-homework.com/calculus/what-are-the-extrema-and-saddle-points-of-fxy-2x3-xy2-5x2-y2-1.jpg "Melyek az f (x, y) = 6 sin x sin y szélsőséges és nyeregpontjai az x, y intervallumban [-pi, pi]?")
X = pi / 2 és y = pi x = pi / 2 és y = -pi x = -pi / 2 és y = pi x = -pi / 2 és y = -pi x = pi és y = pi / 2 x = pi és y = -pi / 2 x = -pi és y = pi / 2 x = -pi és y = -pi / 2 A kétváltozós függvény kritikus pontjainak megtalálásához ki kell számítani a gradienst, amely egy vektor, amely a származékokat az egyes változók vonatkozásában tartalmazza: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Tehát d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y), és hasonlóan d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). A kritikus pontok
Mik az f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2) szélsőséges és nyeregpontjai?
{0,0} nyeregpont {0, -2} helyi maximum f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2), így a szekcionális pontokat az f f (x, y) = vec 0 vagy {(-2 e ^ yx = 0), (2 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2) = 0): két megoldás megadása ((x = 0, y = 0 ), (x = 0, y = -2)) Ezek a pontok H = grad (grad f (x, y)) vagy H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx), (- 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))) így H (0,0) = ((-2, 0), (0, 2 )) sajátértékei {-2,2}. Ez az eredmény a {0,0} pontot nyeregpontként minősíti. H (0, -2) = ((- 2 / e ^ 2, 0), (0, -2 / e ^ 2)) sajátértékei {-2 / e ^ 2