Az A kör középpontja (3, 5) és területe 78 pi. A B kör középpontja (1, 2) és területe 54 pi. Átfedik a körök?

Válasz:

Igen

Magyarázat:

Először is, szükségünk van a két központ közötti távolságra # D = sqrt ((DELTAX) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Most szükségünk van a sugárok összegére, mivel:

#D> (r_1 + r_2): "Körök nem fedik egymást" #

# D = (r_1 + r_2);

#D <(r_1 + r_2): "Körök átfedik egymást" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, így a körök átfedik egymást.

Bizonyíték:

grafikon {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Válasz:

Ezek átfednek, ha #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}.

Átugorhatjuk a számológépet és ellenőrizhetjük # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # vagy #4(13)(54) > 11^2# ami biztosan az, így igen, átfedés.

Magyarázat:

A kör terület természetesen #pi r ^ 2 # úgyhogy szétválogatjuk az ingyeneset # Pi #s.

Négyzetes sugaraink vannak

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

és a központok közötti négyzetes távolság

# D ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Alapvetően tudni akarjuk, hogy # r_1 + r_2 ge d #, vagyis ha három sugarat tudunk létrehozni a két sugárból és a központok között.

A négyzetes hosszúságok egész szépek, és elég őrült, hogy mindannyian ösztönösen elérjük a számológépet vagy a számítógépet, és elkezdjük szögletes gyökereinket.

Nem kell, de szükségünk van egy kis kitérésre. Használjuk Heron képletét, hívjuk a területet # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # hol # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Ez már jobb, mint Heron. De folytatjuk. Átugorok néhány tediumot.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Ez szépen szimmetrikus, ahogy várnánk egy területi képletnél. Legyen kevésbé szimmetrikus megjelenés. Visszahívás

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

hozzátéve, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Ez egy képlet a háromszög négyzetének területére, az oldalak négyszögletes hossza alapján. Ha ez utóbbi racionális, akkor az előbbi is.

Próbáljuk ki. Mi szabadon hozzárendelhetjük azokat az oldalakat, amiket szeretünk; a kézi számításhoz a legjobb # C # a legnagyobb oldal, # c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Még mielőtt még kiszámolnánk, láthatjuk, hogy pozitív # 16Q ^ 2 # így egy igazi háromszög pozitív területet, így átfedő köröket.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Ha negatív értéket kaptunk, egy képzeletbeli területet, ez nem igazi háromszög, így nem átfedő körök.