Mi a hullámfüggvény és milyen követelményeknek kell megfelelni ahhoz, hogy jól viselkedjenek, azaz hogy a fizikai valóságot megfelelően képviselje?

Válasz:

A hullámfüggvény egy komplex értékű funkció, amelynek amplitúdója (abszolút értéke) adja meg a valószínűségi eloszlást. Azonban nem ugyanúgy viselkedik, mint egy rendes hullám.

Magyarázat:

A kvantummechanikában a rendszer állapotáról beszélünk. Az egyik legegyszerűbb példa egy részecske, amely felfelé vagy lefelé foroghat, például egy elektron. Amikor egy rendszer centrifugálását mérjük, akkor azt akár felfelé, akár lefelé mérjük. Egy olyan állapot, amellyel biztosak vagyunk a mérés kimenetelében, sajátos állapotnak nevezzük (egy felállás állapotát) # # Uarr és egy lefelé álló állapot # # Darr).

Vannak olyan állapotok is, ahol bizonytalanok vagyunk a mérés kimenetelében, mielőtt mérjük. Ezeket az állapotokat szuperpozíciónak nevezzük, és felírhatjuk őket # A * uarr + b * darr #. Itt van # | A | ^ 2 # a mérés valószínűsége # # Uarr, és # | B | ^ 2 # a mérés valószínűsége # # Darr. Ez természetesen azt jelenti # | A | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Megengedjük # A, b # komplex számok, ennek oka nem egyértelmű a példából, de a hullámfüggvény összefüggésében világosabb lesz. A lényeg az, hogy több olyan állapot van, mint az, amelyik ugyanolyan valószínűséggel rendelkezik a centrifugálás mérésére.

Most megpróbálhatunk egy funkciót hozzárendelni ehhez a spin állapothoz. Mivel a centrifugálás mérésének csak két eredménye van, van egy funkció, amely csak két lehetséges bemenettel rendelkezik. Ha ezt a funkciót hívjuk # Psi # (Ez egy nagyon hagyományos szimbólum, amelyet a hullámhajtásnál használunk), beállítottuk #psi (uarr) = a # és #psi (darr) = b #.

Most fordulunk a hullámfunkcióhoz. A részecske egyik aspektusa természetesen annak helye. Csakúgy, mint a centrifugálásnál, a helyszín különértékeit is mérhetjük, és olyan állapotok is lehetnek, amelyekben a mérés eredményét nem rögzítették előre. Mivel van egy számíthatatlan végtelen mennyiségű hely, ahol egy részecske lehet, írja le ezt az állapotot # A * "itt" + b * "ott" # nem fog. Azonban a fentiekben használt funkció ötlete. Tehát minden helyen #x#, komplex értékünk van #psi (X) #. A részecske valószínűségi sűrűségfüggvényét most a # | Psi (X) | ^ 2 #.

Minden méltányosság szerint történelmileg a hullámfüggvény ötlete régebbi, mint a centrifugálás, de azt hiszem, hogy a centrifugálás elképzeléseinek megértése bizonyos mértékben segít a hullámfüggvény megértésében.

Először is, miért értékelik a hullámfunkciós komplexumot? Az első ok az interferencia gondolatában található. A részecske hullámfüggvénye zavarhatja magát. Ez az interferencia a hullámfüggvények összeadásával jár, ha a hullámfüggvények egy bizonyos ponton ugyanazt az abszolút értéket adják meg, akkor a részecskék ezen pont körül történő mérésének valószínűsége hasonló. A függvényértékek azonban eltérőek lehetnek, ha ugyanazok, a hozzáadásuk az amplitúdót vagy a valószínűségi sűrűséget 4 (#|2|^2#) nagyobbak (konstruktív interferencia), és ha különböznek a megjelölésektől, akkor mindkettőt (destruktív interferenciát) tagadják. Ugyanakkor az is különbözhet például egy tényezőtől #én#, ami azt jelenti, hogy a valószínűségi sűrűség lesz #2# abban az időpontban nagyobb. Tudjuk, hogy ezek az interferenciák előfordulhatnak. Tehát ez egy komplex értékű hullámfüggvény felé mutat, ahogy azt korábban leírtuk.

A második ok a Schrödinger-egyenletben található. Kezdetben úgy gondolták, hogy ezek a hullámfüggvények a klasszikus hullámokhoz hasonlóan viselkedtek. Amikor azonban Schrödinger megpróbálta leírni a hullámok viselkedését, vagy legalábbis az időbeli fejlődésüket, úgy találta, hogy a klasszikus hullámokat szabályozó egyenlet nem volt megfelelő. Ahhoz, hogy működjön, komplex számot kellett bevezetnie az egyenletbe, ami arra a következtetésre jutott, hogy maga a függvény is komplex, és az egyenletben megjelenő származékok sorrendje eltér a klasszikus hullámegyenlettől.

Ez a különbség az egyenletekben a második kérdésre is válaszol. Mivel a hullámfüggvény evolúciója annyira különbözik a klasszikus hullámoktól, hogy nem használhatjuk ugyanazt a módszert, amit a klasszikus hullámfizikában használunk. Természetesen geometriai érveket is használhatunk, de nem lesz elég a kvantumfizika összes jelenségének leírására. Ezenkívül, bár a hullámfunkció sok információt ad a részecskék állapotáról, semmit nem mond ki a centrifugájáról, mivel a megfigyelhető spin és a helyszín kevés köze van egymáshoz.

Talán helytelenül értelmezem azt, amit geometriai természetűnek érzel. Talán példát adhatna arra, amit ért. Talán akkor segíthetek tovább.

A hullámfüggvény a kvantummechanikai rendszer, például egy atom vagy molekula állapotát jelenti.

Az is ábrázolható # Psi #, a időtől független hullámfüggvény, vagy # # Psi, a időfüggő hullámfüggvény.

Mert a hullám funkció nyilvánvalóan olyan rendszert jelent, amely úgy viselkedik, mint egy hullám (ez nem véletlen, hogy az úgynevezett hullám funkció!), akkor általában egy korlátlan a hullámfüggvénynek nincsenek határai. Tekintsük azt a tényt, hogy # # Sinx és # # Cosxkét, egyértelműen hullámos funkcióval rendelkezik # (- oo, oo) #.

PÉLDA: A VÁROS FUNKCIÓ AZ ORBITÁLISOKRA

Vegyünk például orbitákat. Léteznie kell egy készletet peremfeltételek orbitális, mert nyilvánvalóan az orbiták nem végtelenül nagyok.

A hullámfunkció képes a atomi pályák lineáris kombinációja molekuláris orbitákat alkot:

#color (kék) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = szín (kék) (c_1phi (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +.

hol # # C_i az a bővítési együttható - jelzi az egyes atomok orbitális szerepét a kérdéses molekuláris pályára; t # Phi_i ^ "AO" # az a kísérleti / kísérleti hullám funkció minden atomi pályára.

Mivel a hullámfüggvénynek képesnek kell lennie az orbitális ábrázolásra, pozitív sugárral kell rendelkeznie (#r> 0 #) és a hullámfüggvénynek egyetlen -valued, zárva , folyamatos , ortogonális minden kapcsolódó hullámfunkcióhoz, és normalizable .

Más szavakkal, meg kell haladnia a függőleges vonal tesztet, véges területe van a görbe alatt, nincs ugrása / folytonossága / aszimptotája / törése, és eleget kell tennie a következő két egyenletnek:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(a hullámfunkció integrálja és komplex konjugátuma #0# ha a hullámfüggvények eltérőek)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(a hullámfüggvény és annak komplex konjugátumának integrálja úgy van normalizálva, hogy egyenlő legyen #1# ha a hullámfüggvények ugyanazok, mint a jel # # PMI)

Egy példa a hidrogénatom gömb koordinátáinak hullámfüggvényére:

#color (kék) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = szín (kék) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Gondolom, hogy időt töltöttem, hogy ezt normalizáljam. Még az időt is vettem, hogy megvizsgáljam az ortogonalitást a másik kettővel # # 2p hullámfunkciók.: P

Csak abban az esetben, itt van egy függelék, amit fent említettem a Scratchpads-ban.

#' '#

A

A # # 2p_z atomi orbitális hullámfüggvény:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(Parker)

Az a # # 2p_z hullámfüggvény igazán normalizált? TALÁLJUK KI!

# matbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thet theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (zöld) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Most, csak a sugárirányú rész vizsgálata, ami az őrült rész … hagyja, hogy a részek négyszeres integrációja megkezdődjön!

A VÍZFUNKCIÓ RADIÁLIS KOMPONENTÁJA ÉRTÉKELÉSE

1. rész

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Legyen:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

2. rész

Legyen:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

3. rész

Legyen:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

4. rész

Legyen:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

Bővítés / EGYSZERŰSÍTÉSI

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

ÉRTÉKELÉS-READY FORM

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Első fele törli lenni #0#:

# = Mégsem ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

A második felét leegyszerűsíti lenni # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = Mégsem (e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) ^ (1) Mégsem ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + törlés (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + törlés (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + törlés (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Most vizsgáljuk meg újra a hullámfunkciót, mint egészet …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (törlés (32) törlés (pi)) törlés ((Z / a_0) ^ 5) (törlés (16) törlés ((a_0 / Z) ^ 5)) (törlés (2) törlés (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (kék) (1 = 1) #

IGEN! EGY EGY EQUAL EGY! Értem…

A hullámfüggvény valóban normalizált!: D

A 2p hullámfüggvények kölcsönös ortogonálisságának bizonyítása

Válasszuk ki a következő hullámfüggvényeket:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Ahhoz, hogy megmutassák, hogy azok ortogonálisak, legalább együket meg kell mutatnunk:

#int _ ("minden hely") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Az indukcióból pedig a többieket is feltehetjük, mivel a radiális komponensek azonosak. Más szavakkal:

# matbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (zöld) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) bűn ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

A radiális rész kiderül # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Tehát értékeljük a szögletes részeket.

A # # Theta porció:

#color (zöld) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Legyen:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = szín (zöld) (0) #

És most a #phi# porció:

#color (zöld) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Legyen:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = szín (zöld) (0) #

Ezért összességében:

#color (kék) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) bűn ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = törlés (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) (0) #

# = szín (kék) (0) #

Mivel

#int _ ("minden hely") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

a # # 2p_z és # # 2p_x atomi orbiták ortogonálisak.

Tényleg, a fő különbség a # # 2p_y egyenlet az, hogy helyetted:

#color (zöld) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "Ugyanaz a dolog" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

És aztán:

#color (kék) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = szín (kék) (0) #

A szorzásból #0# más integrálok által, így az egész integrál eltűnik, és:

#int _ ("minden hely") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Így a # # 2p_x és # # 2p_y atomi orbiták ortogonálisak.

Végül a # # 2p_y vs. # # 2p_z:

#color (zöld) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "Ugyanaz a dolog" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Ismerjük # # Theta előléptetés:

#color (kék) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = szín (kék) (0) #

És így az egész integrál ismét eltűnik, és valójában a # # 2p_y és # # 2p_z A pályák ortogonálisak is!