Értékelje a határozatlan integrátumot: sqrt (10x x ^ 2) dx?

Válasz:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Magyarázat:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Töltse ki a négyzetet, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Helyettes # U = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" # #

Helyettes # U = 5sin (v) # és # Du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Egyszerűbb, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

finomítása, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Vegyük ki a konstansot, # 25int "" "cos ^ 2 (v)" "dv #

Dupla szögű képletek alkalmazása, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Vegyük ki a konstansot, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" #

Egyesít, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Helyettesítse vissza # V = arcsin (u / 5) # és # U = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((X-5) / 5) + törölni (1 / 2sin) (megszünteti (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Egyszerűbb, # 25/2 (arcsin ((X-5) / 5)) + 25/2 ((X-5) / 5) + c #

finomítása, # 25 / 2arcsin ((X-5) / 5) +5/2 (X-5) + c #, hol # C # az integráció állandója.

Tadaa: D

Válasz:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Magyarázat:

Mi a #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Megjegyezzük, hogy az integrálandó függvény tartománya, ahol a belső négyzet pozitív, azaz #x -ban 0, 10 #

Ezt a kifejezést helyettesítésekkel lehet integrálni. Bár az integráció lehetséges útja nem jelenik meg azonnal, ha versenyezzük a négyzetet, akkor egy trigonometrikus helyettesítés végezhető el:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Amit észrevettük, a klasszikus trigonometrikus szubsztitúciós formában van, azaz egy szám négyzeténél, mínusz egy lineáris #x# funkció.

Először is, hogy megszabaduljunk a lineáristól, hagyjuk #u = x-5 #, ami ad # Du = dx #, így a fenti integrációt átírhatjuk:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Most a második helyettesítéshez hagyja #u = 5sintheta #, amely megváltoztatja a következőket:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (figyelmen kívül hagyhatjuk az abszolút értékek zárójelét)

Természetesen a # # Dx nem segít, ezért megkülönböztetjük a helyettesítési egyenletet, hogy: #du = 5costheta d theta #, így az integrál:

# 25 int cos ^ 2 théta déta #

Most használhatunk kettős szögű képletet az integráláshoz # cos ^ 2 theta # könnyebb:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Így az integrál:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 déta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + teta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (kettős szögű képlettel)

Most, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Ennélfogva, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

És, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #