Hogyan találja meg a harmadik fokozatú Taylor polinomot f (x) = ln x esetén, középpontjában a = 2?

Hogyan találja meg a harmadik fokozatú Taylor polinomot f (x) = ln x esetén, középpontjában a = 2?
Anonim

Válasz:

#ln (2) +1/2 (X-2) -1/8 (X-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Magyarázat:

A Taylor terjeszkedésének általános formája # A # egy analitikai funkció # F # jelentése #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (X-a) ^ n #. Itt #f ^ ((n)) # a # F #.

A harmadik fokú Taylor polinom az első négyből álló polinom.# N # kezdve #0# nak nek #3#) a teljes Taylor bővítés feltételei.

Ezért ez a polinom #f (a) + F '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (X-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (X-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, ebből adódóan #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Tehát a harmadik fokú Taylor polinom:

#ln (a) + 1 / a (X-a) -1 / (2a ^ 2) (X-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Most már van # A = 2 #, így van a polinomja:

#ln (2) +1/2 (X-2) -1/8 (X-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.