Hogyan bizonyíthatja (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Válasz:

Használjon néhány trigál azonosítót és egyszerűsítse. Lásd lentebb.

Magyarázat:

Azt hiszem, van egy hiba a kérdésben, de ez nem nagy ügy. Annak érdekében, hogy értelme legyen, a kérdést olvassa el:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

Mindkét esetben ezt a kifejezést kezdjük:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(A trig-identitások bizonyításakor általában a frakcióval rendelkező oldalon dolgozunk).

Használjunk egy tiszta trükköt, amelyet konjugált szorzásnak nevezünk, ahol a frakciót a nevezővel megszorozzuk konjugált:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

A. T # A + b # jelentése # A-b #, így a konjugátum # 1 + sinx # jelentése # 1-sinx #; megszorozzuk # (1-sinx) / (1-sinx) # a frakció kiegyensúlyozása.

Vegye figyelembe, hogy # (1 + sinx) (1-sinx) # valójában a négyzetek különbsége, amely rendelkezik a tulajdonsággal:

# (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Itt látjuk # A = 1 # és # B = sinx #, így:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

A pythagorai identitásból # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, ez következik (kivonás után # Sin ^ 2x # mindkét oldalról), # Cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, elmentünk # (1-sinx) / (1-sinx) # nak nek # 1-sin ^ 2x # nak nek # Cos ^ 2x #! Most a probléma úgy néz ki, mint:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Bontsuk ki a számlálót:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Emlékezik: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Most megszakítjuk a frakciókat:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Hogyan lehet egyszerűsíteni hogy ? Nos, emlékszem, amikor azt mondtam: "Ne feledd: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Kiderült, hogy # Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # valójában # (Secx-tanx) ^ 2 #. Ha hagyjuk # A = secx # és # B = tanx #, láthatjuk, hogy ez a kifejezés:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Ami, mint mondtam, egyenértékű # (A-b) ^ 2 #. Cserélje # A # val vel # # Secx és # B # val vel # # Tanx és kapsz:

# Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

És befejeztük a proodot:

# (Secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #

A konvergencia definíciója segítségével hogyan bizonyíthatja, hogy a {5+ (1 / n)} szekvencia n = 1-től a végtelenségig konvergál?

Legyen: a_n = 5 + 1 / n, akkor bármely m, n NN-ben n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n és 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Valamely epsilon> 0 értékű valódi számot választva válassza az N> 1 / epsilon egész számot. Minden m, n> N egész szám esetében: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, amely bizonyítja Cauchy feltételét egy szekvencia konvergenciájáho

A konvergencia definíciója segítségével hogyan bizonyíthatja, hogy a {2 ^ -n} szekvencia n = 1-től a végtelenségig konvergál?

Használja az exponenciális függvény tulajdonságait az N meghatározásához, például | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon minden m, n> N esetén A konvergencia definíciója szerint a {a_n} konvergál, ha: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Szóval, ha az epsilon> 0, akkor N> log_2 (1 / epsilon) és m, n> N m m értéke n <m, n (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 így | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Most, amikor 2 ^

A konvergencia definíciója segítségével hogyan bizonyíthatja, hogy a lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 szekvencia konvergál?

Bármelyik epsilon számmal> 0 válassza az M> 1 / sqrt (6epsilon) értéket, az M NN-ben. Ezután n> = M esetén: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon és így: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon, amely bizonyítja a határértéket.