A konvergencia definíciója segítségével hogyan bizonyíthatja, hogy a {5+ (1 / n)} szekvencia n = 1-től a végtelenségig konvergál?

Legyen:

#a_n = 5 + 1 / n #

akkor minden # m, n NN # val vel #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

mint #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

és mint # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Valódi számot adott #epsilon> 0 #, válasszon egy egész számot #N> 1 / epszilon #.

Minden egész számra # m, n> N # nekünk van:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

amely bizonyítja, hogy Cauchy egy szekvencia konvergenciájának feltétele.