Legyen S egy egységnyi terület. Tekintsünk olyan négyszögeket, amelyeknek egy csúcsa van az S. mindkét oldalán. Ha a, b, c és d a négyszög oldalainak hosszát jelöli, bizonyítsa, hogy 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

enged # # ABCD legyen egy négyzetnyi terület.

Így # AB = BC = CD = DA = 1 # egység.

enged # # PQRS négyszög, amely a csúcs mindkét oldalán egy csúcsot tartalmaz. Itt hagyja # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Pythagoras thorem alkalmazásával írhatunk

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-W) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + W ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + W ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (Z-1/2) ^ 2 + (W-1/2) ^ 2) #

Most a problémánk miatt

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Ennélfogva

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #