Grafika nélkül hogyan döntesz el, hogy a következő lineáris egyenletrendszernek van-e egy megoldása, végtelen sok megoldása vagy nincs megoldás?

Válasz:

A rendszer # N # lineáris egyenletek # N # ismeretlen változók, amelyek nem tartalmaznak lineáris függést az egyenletek között (más szóval, az döntő nem nulla) egy és csak egy megoldást tartalmaz.

Magyarázat:

Tekintsünk két, két ismeretlen változóval rendelkező lineáris egyenletrendszert:

# Ax + by = C #

# Dx + Ey = F #

Ha pár # (A, B) # nem arányos a párral # (D, E) # (azaz nincs ilyen szám # K # hogy # D = kA # és # E = kB #, amely állapota ellenőrizhető # A * E-B * D! = 0 #) akkor van egy és csak egy megoldás:

# X = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # Y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Példa:

# X + y = 3 #

# X-2y = -3 #

Megoldás:

# X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Ha pár # (A, B) # arányos a párral # (D, E) # (ami azt jelenti, hogy van ilyen szám # K # hogy # D = kA # és # E = kB #, amelyet egy állapot ellenőrizhet # A * E-B * D = 0 #) két eset áll fenn:

a) végtelen számú megoldás, ha # C # és # F # arányosak az azonos együtthatóval # A # és # D #, vagyis # F = kC #, hol # K # ugyanaz az arányossági együttható;

Példa:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Itt # K = 2 # minden pár esetében: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

A második egyenlet az első triviális következménye (csak szorozza meg az első egyenletet #2#), és ezért nem szolgáltat további információt az ismeretlenekről, és csökkenti az egyenletek számát, hatékonyan 1-re.

b) egyáltalán nincsenek megoldások, ha #F! = KC #

Példa:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8Y = 5 #

Ebben az esetben az egyenletek ellentmondanak egymásnak, mivel az elsőt 2-gyel megszorozzuk, és az egyenlethez jutunk # 2x + 8Y = 6 #, amely nem képes közös megoldással # 2x + 8Y = 5 # mivel a két egyenlet bal oldala egyenlő, de a jobb részek nem.