Az A háromszög területe 9 és két oldala 6 és 9 hosszúságú. A B háromszög hasonló az A háromszöghöz, és a hosszúsága 12-es. Melyek a B háromszög maximális és minimális lehetséges területei?

Válasz:

min # = fr {144 (13 -8qrt {2})} {41} kb. 5.922584784 … #

Max # = fr {144 (13 + 8qrt {2})} {41} kb. 85,39448839 …

Magyarázat:

Adott:

# Terület _ {háromszögA} = 9 #

Oldal szélessége # háromszögA # vannak # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Oldal szélessége # háromszög # vannak # U, V, W #

#U = 12 #

# háromszög A szöveg {hasonló} B #

először megoldani # # Z:

használja Heron képletét: # A = qrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # hol # S = fr {A + B + C} {2} #, a 9. rész alpontja és a 6. és 9. oldalsó hosszúság.

# S = fr {15 + z} {2} #

# 9 = qr {{fr {15 + Z} {2}) (fr {Z + 3} {2}) (fr {Z - 3} {2}) (fr {15 - z} { 2}) #

# 81 = fr {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

enged # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

használjon négyzetes képletet

# u = fr {-b} pm {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8qrt {2} +13) #

# Z = qrt {u} # Elutasítja a negatív megoldásokat # Z> 0 #

# Z = 3 qrt {13-8 qrt {2}}, Z = 3 qrt {8qrt {2} +13} #

És így # Z kb. 3.895718613 # és # 14.79267983 # illetőleg

# A háromszög A szöveg {hasonló} B háromszög, terület _ {háromszög B} = k ^ 2 * terület _ {háromszögA} # hol # K # az átméretező tényező

# k = 12 / s # növekvő sorrendben: # {{qq {13-8qrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8} {2} {2} +13}} #

vagy tizedes formában: #s a következő helyen: {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Minél nagyobb az érték # S #, annál kisebb a terület, és minél kisebb az érték # S #, minél nagyobb a terület,

Így, hogy minimálisra csökkentsük a területet # s = 3 qrt {13-8 qrt {2}} #

és maximalizálja a területet # s = 3 sqrt {2} +13} #

Így a minimális terület # = 9 * {{{}} {2} {2} {2} +13}} 2 #

# = fr {144 (13 -8qrt {2})} {41} kb. 5.922584784 … #

és a maximális terület # = 9 * {{{}} {2} {13-8

# = fr {144 (13 + 8qrt {2})} {41} kb. 85,39448839 …