Az a szám, ahogyan a vizsgáztató 30 pontot rendelhet 8 kérdéshez, amelyek legalább 2 jelet adnak a kérdésre?

Válasz:

#259459200#

Magyarázat:

Ha ezt helyesen olvastam, akkor ha a vizsgáztató csak 2-es szorzókban rendelhet jeleket. Ez azt jelenti, hogy a 30 jelből csak 15 választás van. #30/2 = 15#

Ezután 15 választási lehetőségünk van a 8 kérdésre.

A permutációk képletének használata:

# (n!) / ((n - r)!) #

Hol # N # az objektumok száma (ebben az esetben a jelek 2-es csoportokban).

És # R # hány darabot veszünk egyszerre (ebben az esetben a 8 kérdés)

Tehát:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Válasz:

Vannak # "" _ 21C_14 # (vagy 116.280) módon.

Magyarázat:

A "bank" 30 jelzéssel kezdünk adni. Mivel minden kérdésnek legalább 2 jelet kell elérnie, mi is # 2 xx 8 = 16 # jelek a #30# és egyenlően terjeszti őket. Most minden kérdésnek 2 van (eddig), és a "bank" marad #30-16=14# védjegyek.

Most meg kell találnunk, hogy hányféleképpen szétválaszthassuk a fennmaradó 14 jelet a 8 kérdés között. Eleinte ez nagyon nehéz lehet, de van egy trükk, ami sokkal intuitívabbá teszi.

Egy pillanatra egyszerűsítsük a dolgokat. Mi van, ha csak két kérdésünk van, és 14 jelet osztunk meg egymás között? Hányféleképpen tehetnénk ezt? Nos, 14 + 0, vagy 13 + 1, vagy 12 + 2, stb … vagy 1 + 13, vagy 0 + 14-et tudtunk szétosztani. Más szavakkal, amikor csak egy osztást kell bevezetnünk (két kérdés között), 15 módot kapunk.

Ez ugyanaz, mint azt kérdezi: "Hány egyedi módon tudunk rendezni 14 sárga golyót (a jeleket) és 1 kék márványt (a kérdéselosztót) egy sorban?" Erre a válaszra az összes 15 golyó permutációjának számítása kerül megállapításra #15!#), majd osztjuk el mindkét sárga golyó áthatolásának számát #(14!)# és kék golyók #(1!)#, mivel az egyes elrendezéseken belül nem számít, hogy milyen sorrendben jelennek meg az azonos golyók.

Tehát, amikor 14 sárga golyó (jel) és 1 kék márvány (kérdőív) van

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Törölni (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 módja a golyók elrendezésének (a jelölések megosztása). Megjegyzés: ez egyenlő # "" _ 15C_14 #.

Ismertessünk egy másik kék márványt, vagyis egy második osztást, vagy egy harmadik kérdést, amely a jeleket adja. Most már 16 teljes márványunk van, és szeretnénk tudni, hogy hány egyedi módon tudjuk ezeket elrendezni. A korábbiakhoz hasonlóan a #16!# az összes golyó elrendezésének módja, majd a két sárga permutálás módjaival szétválasztható #(14!)# és a kékek #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Törölni (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Tehát 120 módszer van arra, hogy a 14 kérdést három kérdés között megoszthassa. Ez is egyenlő # "" _ 16C_14 #.

Mostanra észreveheted, hogy hol vagyunk. A szám a bal oldalon # C # megegyezik a felosztott jelölések számával (sárga golyók) plusz az osztók száma (kék golyók). Az osztók száma mindig egynél kevesebb a kérdések száma. A szám a jobb oldalon # C # marad a jelek száma.

Így, a fennmaradó 14 jel megosztása mind a 8 kérdés között (ami 7 osztót igényel) számítunk

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#COLOR (fehér) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#COLOR (fehér) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116280" #

Tehát 116,280 mód van arra, hogy 8 jelet adjon meg 8 kérdésre, ahol minden kérdés legalább 2 jelet ér.