Mi az e ^ (x ^ 3) integrálja?

Ezt az integrálot nem lehet az elemi funkciók szempontjából kifejezni.

Attól függően, hogy milyen integrációra van szükséged, választhatsz az integráció módját.

Integráció teljesítménysorozatokon keresztül

Emlékezzünk erre # E ^ x # analitikus #mathbb {R} #, így #forall x a {{}} a következő egyenlőség fennáll

# E ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

és ez azt jelenti

# E ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Most már integrálhatsz:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (összeg_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + összeg_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integráció a hiányos gamma függvény segítségével

Először helyettesítsd # T = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

A funkció # E ^ {x ^ 3} # folyamatos. Ez azt jelenti, hogy primitív funkciói #F: {bb} {{}} oly módon, hogy

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

és ez jól definiált, mert a funkció #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # olyan, hogy #t - 0 # Tartja #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, úgy, hogy a nem megfelelő integrál # int_0 ^ s f (t) dt # véges (hívom # S = -Y ^ 3 #).

Szóval van ez

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Megjegyezzük, hogy #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Ez azt jelenti, hogy #t - + infty # ezt kapjuk #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, úgyhogy # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Tehát a nem megfelelő integrál követése #f (t) # véges:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Tudunk írni:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

ez az

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

A végén kapunk

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #