Mi a megoldás a dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 differenciálegyenletre?

Válasz:

Az általános megoldás:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Magyarázat:

Nekünk van:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

A hasonló változókra vonatkozó feltételeket gyűjthetjük:

# 1 / (y-1) ^ 2 d / dt = e ^ t #

Melyik egy elkülöníthető elsőrendű rendes nemlineáris differenciálegyenlet, így tudjuk "a változók elkülönítése" megkapja:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Mindkét integrál a standard funkciók, így a tudás felhasználásával közvetlenül integrálható:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

És könnyen átrendezhetjük # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Az általános megoldáshoz vezető:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Válasz:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Magyarázat:

Ez egy elkülöníthető differenciálegyenlet, ami azt jelenti, hogy a következő formában írható:

# Dy / dx * f (y) = g (x) #

Megoldható mindkét oldal integrálásával:

#int f (y) dy = int g (x) x # #

Esetünkben először el kell különítenünk az integrát a megfelelő formában. Ezt úgy tehetjük meg, hogy mindkét oldalt elosztjuk # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Most mindkét oldalt integrálhatjuk:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 d = e ^ t + C_1 #

A bal oldalt integrálhatjuk a helyettesítéssel # U = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

A helyettesítés (és az konstansok kombinálása):

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Szorozzuk mindkét oldalt # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Oszd meg mindkét oldalt # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #