Mi az egységvektor, amely ortogonális a (- 5 i + 4 j - 5 k) és (4 i + 4 j + 2 k) feletti síkkal?

Válasz:

Két lépés van: (1) megtaláljuk a vektorok kereszttermékét, (2) normalizáljuk a kapott vektorot. Ebben az esetben a válasz:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Magyarázat:

A két vektor keresztterméke egy olyan vektorot hoz létre, amely mindkét irányban ortogonális (derékszögben).

Két vektor keresztterméke # (A #én# + B #j# + C #k#)# és # (P #én# + Q #j# + R #k#)# által adva # (B * r-c * Q) I + (c * p-A * r) j + (a * Q-b * p) k #

Az első lépés a keresztszelvény keresése:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Ez a vektor mindkét eredeti vektorhoz képest ortogonális, de ez nem egy egység vektor. Ahhoz, hogy egy egységvektor legyen, normalizálnunk kell: meg kell osztanunk mindegyik összetevőjét a vektor hosszával.

# L = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # egységek

Az eredeti vektorokhoz képest az ortogonális egység vektor:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Ez egy egységvektor, amely mindkét eredeti vektorhoz képest ortogonális, de van egy másik - az ellenkező irányba. Az egyes komponensek jelének egyszerűen megváltoztatása egy második vektorhoz vezet, amely az eredeti vektorokhoz képest merőleges.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(de ez az első olyan vektor, amelyet a tesztre vagy feladatra válaszként ajánlani kell!)