Egy egyenlőszárú háromszög két sarka (7, 5) és (3, 6). Ha a háromszög területe 6, akkor milyenek a háromszög oldalai?

Válasz:

Van egy pár módja, hogy ezt megtehesse; az utat a legkisebb lépésekkel az alábbiakban ismertetjük.

A kérdés kétértelmű, hogy a két oldal azonos hosszúságú. Ebben a magyarázatban feltételezzük, hogy az azonos hosszúságú két oldal még megtalálható.

Magyarázat:

Az egyik oldal hosszúsága csak az általunk megadott koordinátákból derül ki.

# A = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# A = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# A = sqrt (16 + 1) #

# A = sqrt17 #

Ezután használhatjuk a háromszög területének képletét az oldalsó hossza szempontjából # B # és # C #.

# A = sqrt (s (s-a) (S-B) (s-c)) #

hol # S = (a + b + c) / 2 # (hívta a semiperimeter)

Mivel # A = sqrt (17) # ismert, és feltételezzük # B = c #, nekünk van

# S = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#COLOR (piros) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Ezt helyettesítjük a fenti területi képletre, valamint # A = 6 # és # A = sqrt17 #, kapunk

# 6 = sqrt ((szín (vörös) (sqrt (17) / 2 + b)) (szín (vörös) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (szín (vörös) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (szín (vörös) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# B = sqrt (865/68) = c #

Megoldásunk # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

1. lábjegyzet:

Lehetőség van egy háromszög hosszúságú két oldallal #sqrt (17) # és terület # A = 6 # (azaz, hogy legyen # A = b = sqrt (17) # ahelyett # B = c #). Ez más megoldást eredményez.

2. lábjegyzet:

Ezt a kérdést a harmadik pont koordinátáinak megtalálásával is megoldhattuk volna. Ez magában foglalta volna:

a) az ismert oldal hosszának megállapítása # A #

b) a lejtő megtalálása # M # két pont között

c) a középpont megtalálása # (X_1, y_1) # két pont között

d) a "magasság" keresése # H # ennek a háromszögnek a használata # A = 1/2 ah #

e) a magasság meredekségének megállapítása #m_h = (- 1) / m #

f) mind a lejtéspont-képlet használatával # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # és a magassági képlet # H = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # a 3. pont egyik koordinátájának megoldásához # (X_2, y_2) #

g) a két egyenlet ötvözése után egyszerűsíti a hozamokat

# X_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) az ismert értékek csatlakoztatása # H #, # # M_h, és # # X_1 eljutni # # X_2

i) az (f) pontban szereplő két egyenlet egyikének felhasználásával # # Y_2

j) a távoli képlet segítségével megtaláljuk a fennmaradó (azonos) oldalsó hosszokat

# B = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Láthatjuk, miért könnyebb az első módszer.