Mi az int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx integrálja?

Válasz:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) +, C #

Magyarázat:

Először helyettesítjük:

# U = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 #

# (Du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / (2e ^ (2x)) #

#intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du #

Végezze el a második helyettesítést:

# V ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2V (DV) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = INTV ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = Int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv #

Részleges frakciók felhasználásával:

# 1 / ((V + 1) (V-1)) = A / (v + 1) + B / (V-1) #

# 1 = A (V-1) + B (v + 1) #

# V = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# V = -1 #:

# 1 = a-2A #, # A = -1/2 #

Most már:

# -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (V-1)) #

# Int1 + 1 / ((V + 1) (V-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (V-1)) dv = 1/2 -ln (abs (v + 1)) + ln (abs (v-1)) + V +, C #

Helyettesítés vissza # V = sqrt (u) #:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (u) +1)) + ln (abs (sqrt (u) -1)) + sqrt (u) +, C #

Helyettesítés vissza # U = 1 + e ^ (2x) #

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) +, C #