Mi van: {1,2,3} -> {1,2} és g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}.

Válasz:

# F # nem lehet injektív.

# G # lehet injektív #24# módokon.

Magyarázat:

Egy funkció injektív, ha nincs két bemenet ugyanazzal a kimenettel. Más szóval, valami ilyesmi

#f (x) = f (y), négyzet x t

nem történhet meg.

Ez azt jelenti, hogy véges domén és kodomain esetében a függvény injektív lehet, ha és csak akkor, ha a tartomány kisebb, mint a kodomain (vagy legfeljebb egyenlő) a kardinalitás szempontjából.

Ez az oka # F # soha nem lehet injektív. Valójában kijavíthatja #f (1) # ahogy szeretnéd. Mond #f (1) = 1 #, például. Kiválasztáskor #f (2) #, nem mondhatjuk újra #f (2) = 1 #, vagy # F # nem lenne injektív. De mikor jön #f (3) # nincs más választásunk, ha mondjuk #f (3) = 1 # nekünk van #f (1) = f (3) #, és ha azt mondjuk #f (3) = 2 # nekünk van #f (2) = f (3) #.

Más szavakkal, meg kell adnunk a két bemenet két lehetséges kimenetének egyikét. Nyilvánvaló, hogy a bemenetek nem tudnak különböző kimeneteket biztosítani.

Másrészről # G # lehet injektív, mivel "elég hely" van: mind a három bemenet a négy kimenet közül az egyiket úgy választhatja ki, hogy egyetlen bemenet sem ad azonos kimenetet.

De hányféleképpen? Tegyük fel, hogy újra elindulunk #f (1) #. Kiválaszthatjuk a bemenet négy kiadásának bármelyikét #f (1) # négy módon.

Amikor arra kerül sor #f (2) #, elveszítünk bizonyos szabadságot: bármilyen értéket rendelhetünk hozzá #f (2) #, kivéve azt, amelyhez hozzárendeltünk #f (1) #, így két választási lehetőséggel maradunk. Például, ha rögzítettük #f (1) = 2 #, azután #f (2) # lehet #1#, #3# vagy #4#.

Ugyanezzel a logikával két lehetőségünk van #f (3) #: a négy lehetséges választásból kizárjuk azokat, amelyek már hozzárendeltek #f (1) # és #f (3) #.

Tehát meg tudjuk határozni # G # ban ben #4*3*2 = 24# olyan módon, hogy # G # injektív.