Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Válasz:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Magyarázat:

keresünk:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Amikor egy határértéket értékelünk, a "közel" függvény viselkedését vizsgáljuk, nem feltétlenül a függvény viselkedését a "pont" pontban, tehát #x rarr 0 #, semmiképpen sem kell megvizsgálnunk, hogy mi történik # X = 0 #, Így kapjuk a triviális eredményt:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Az egyértelműség érdekében a viselkedés megjelenítésére szolgáló funkció grafikonja # X = 0 #

grafikon {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Világossá kell tenni, hogy a funkció # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # nincs meghatározva # X = 0 #

Válasz:

Lásd alább.

Magyarázat:

Az általam használt függvényhatár definíciói egyenértékűek:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # ha és csak Minden pozitív # # Epszilon, van egy pozitív #delta# olyan, hogy minden #x#, ha # 0 <abs (x-a) <delta # azután #abs (f (x) - L) <epsilon #

A "#abs (f (x) - L) <epsilon #"Ez mindenkinek megköveteli #x# val vel # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (X) # definiált.

Azaz a szükséges #delta#, az összes # (A-delta, a + delta) # kivéve esetleg # A #, a tartomány tartományában fekszik # F #.

Mindez a nekünk:

#lim_ (xrarra) f (x) # csak akkor létezik, ha # F # néhány nyitott intervallumot tartalmaz # A #, kivéve talán # A #.

(# F # meg kell határozni a # A #)

Ebből adódóan, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # nem létezik.

Szinte triviális példa

#f (x) = 1 # mert #x# irracionális valódi (ésszerűtlen)

#lim_ (xrarr0) f (x) # nem létezik.