Mi az értéke? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Válasz:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Magyarázat:

Keresünk:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Mind a számláló, mind a 2 nevező #rarr 0 # mint #x rarr 0 #. így a határ # L # (ha létezik) határozatlan formájú #0/0#, és ezért alkalmazhatjuk a L'Hôpital szabályát, hogy:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Most, a számítás alapvető elméletének felhasználásával:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

És,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

És aztán:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Ez ismét határozatlan formájú #0/0#, és ezért újra alkalmazhatjuk a L'Hôpital szabályát, hogy:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Melyiket értékelhetjük:

# L = (0) / (2-0) = 0 #