Mi a központi limit-tétel?

Válasz:

A központi határelmélet szigorúan megfogalmazza azt az intuitív elképzelést, miszerint egyes mintákhoz kapcsolódó egyes mérések átlagának becslése (becslések szerint) javul a minta méretének növekedésével.

Magyarázat:

Képzeld el egy 100 fát tartalmazó erdőt.

Most képzeljük el, hogy (meglehetősen irreálisan), hogy méterben mérve egynegyedük magassága 2, közülük egynegyed magassága 3, közülük egynegyede magassága 4, és egynegyedük magassága 4, közülük egynegyednek van egy és egynegyede egy 5-ös magasság.

Képzeld el, hogy mérjük az erdőben levő fák magasságát, és használjuk az információt, hogy megfelelő hisztogramot készítsünk megfelelően kiválasztott bin méretekkel (pl. 1,5 - 2,5, 2,5 - 3,5, 3,5 - 4,5 és 5,5 - 6,5; a bin, amelyhez a határok tartoznak, de itt nem számít.

A hisztogramot használhatja a fák valószínűségi eloszlásának becslésére. Nyilvánvaló, hogy nem lenne normális.Valójában, ha a végpontokat megfelelően választották, akkor ez egységes lenne, mert az egyes tartályokban a meghatározott magasságok egyikének megfelelő mennyiségű fa lenne.

Most képzeld el, hogy belépsz az erdőbe, és csak két fa magasságát mérjük; számítsuk ki e két fák átlagos magasságát, és jegyezzük fel. Ismételje meg ezt a műveletet többször, hogy a 2. méretű minták átlagértékeinek gyűjteménye legyen. Ha az átlag becslésének hisztogramját szeretné ábrázolni, akkor már nem lenne egységes. Ehelyett valószínűleg több mérés (a 2-es méretű mintákon alapuló átlagbecslések) lenne az erdő összes fája átlagmagasságának közelében (ebben az esetben).

#(2 + 3 + 4 + 5)/4 = 3.5# méter).

Ahogy több lenne az átlag becslése közel a valódi népesség (ami ebben az irreális példában ismert), mint az átlagtól távol, ennek az új hisztogramnak a alakja közelebb lenne a normál eloszláshoz (a csúcs az átlag közelében).

Most képzeld el, hogy bejutsz az erdőbe, és megismétli a gyakorlatot, kivéve, hogy 3 fát magasságot mérsz, minden esetben kiszámítva az átlagot, és jegyezd meg. A hisztogram, amelyet megépítene, még több becslést tartalmazna az átlag közelében az igazi átlag közelében, kevésbé elterjedt (az esély arra, hogy bármelyik mintából három fát szedjünk úgy, hogy mindegyikük a végcsoportok bármelyikéből származik --- akár a nagyon a magas vagy a nagyon rövid --- kevesebb, mint három fát választott magassággal). A hisztogramod alakja, amely az átlagos méret becslését tartalmazza (mindhárom átlag alapján három mérés) közelebb lenne a normál eloszláshoz, és a megfelelő szórás (az átlag, nem a szülő populáció becslése) lenne. kisebb.

Ismételje meg ezt 4, 5, 6, stb. Esetén, fák per átlagban, és a hisztogram, amelyet megépítene, egyre inkább egy normál eloszlásnak tűnik (fokozatosan nagyobb mintaméretekkel), az átlagértékkel. elosztása a az átlag becslése közelebb van a valódi átlaghoz, és a becslések átlagos szórása szűkebbé és szűkebbé válik.

Ha megismétli a gyakorlatot a (degenerált) esetre, amikor az összes fát megmérik (több alkalommal, minden esetben feljegyezve az átlagot), akkor a hisztogram az átlagok becslését csak az egyik tartályban fogja becsülni (a valódi átlagnak megfelelő), változás nélkül, úgy, hogy a "hisztogram" (a becsült valószínűségi eloszlás) szórása nulla legyen.

Tehát a központi határelmélet megállapítja, hogy az egyes populációk átlagának néhány becslése átlagosan aszimptotikusan megközelíti az átlagos átlagértéket és az átlag becslésének szórását (nem pedig a szülő populáció eloszlásának szórását). egyre nagyobb lesz a nagyobb minták esetében.