Az osztályteremben 7 gyerek van. Hányféleképpen vonhatók össze a mélyedés?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Ez a probléma a permutáció. Emlékezzünk rá, hogy a permutációk és a kombinációk közötti különbség az, hogy permutációkkal rendelje meg a kérdéseket. Tekintettel arra, hogy a kérdés arra utal, hogy a tanulók hányféleképpen tudnak sorba lépni (azaz hány különböző megrendelést), ez egy permutáció.

Képzeld el, hogy csak két pozíciót töltünk be az 1. pozícióba és a 2. pozícióba. Annak érdekében, hogy megkülönböztessük a diákjainkat, mert a rendelés számít, mindegyiket A-ról G.-re rendeljük. egyszerre hét lehetőségünk van az első pozíció kitöltésére: A, B, C, D, E, F és G. A pozíció betöltése után azonban csak hat lehetőség van a másodikra, mert az egyik a diákok már elhelyeztek.

Például, tegyük fel, hogy A az 1. pozícióban van. Ezután a két pozíciónk lehetséges megrendelése AB (azaz A a 2. pozícióban 1 és B pozícióban), AC, AD, AE, AF, AG. Azonban … ez nem jelenti az összes lehetséges megrendelést itt, mivel az első pozíciónak 7 lehetősége van. Így, ha B az 1. pozícióban lennének, lehetőségeink szerint BA, BC, BD, BE, BF és BG lenne. Így egyszerre szaporítjuk az opciók számát: #7*6 = 42#

Visszatekintve a kezdeti problémára, 7 diák van, akik az 1. pozícióba helyezhetők (ismét, feltételezve, hogy az 1–7. Pozíciókat sorrendben töltjük be). Az 1. pozíció betöltése után 6 diák helyezhető el a 2-es pozícióban. Az 1. és 2. pozíció kitöltésével az 5-ös pozíció 3-as pozícióba helyezhető, amíg csak egy hallgató kerül az utolsó helyre. Így többszörödve a lehetőségeink számát, megkapjuk #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Egy általánosabb képlet számára, hogy megtaláljuk a # N # tárgyak # R # egy időben, csere nélkül (azaz az 1-es pozícióban lévő diák nem tér vissza a várakozási területre, és a 2. pozíció választási lehetőségévé válik), inkább a következő képletet használjuk:

Permutációk száma = # "N!" / "(N-r)!" #.

val vel # N # az objektumok száma, # R # a kitöltendő pozíciók száma, és. t #!# a szimbólum a faktoriális, olyan művelet, amely nem negatív egész számra hat # A # oly módon, hogy #A! # = #atimes (a-1) -szer (a-2) szer (a-3) alkalommal … alkalommal (1) #

Így az eredeti problémával rendelkező képlet használatával, ahol 7 alkalommal 7 hallgatót veszünk be (pl. 7 pozíciót szeretnénk kitölteni),

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Ez ellentétesnek tűnhet #0! = 1#; ez valóban így van.