Mi a négyzetes funkció tartománya?

Válasz:

A tartomány a #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # jelentése:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "ha" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "ha" a <0):} #

Magyarázat:

Négyszögletes funkcióval:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # val vel #a! = 0 #

A négyzetet kitölthetjük:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

A #x# a négyzetes kifejezés # (X + b / (2a)) ^ 2 # nem negatív, minimális értékét figyelembe véve #0# amikor #x = -b / (2a) #.

Azután:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Ha #a> 0 # akkor ez a minimális lehetséges érték #f (X) # és a tartomány #f (X) # jelentése # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Ha #a <0 # akkor ez a maximális lehetséges érték #f (X) # és a tartomány #f (X) # jelentése # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Egy másik módja annak, hogy ezt megnézzük #y = f (x) # és nézd meg, hogy van-e megoldás #x# szempontjából # Y #.

Adott:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

levon # Y # mindkét oldalról:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

A diszkrimináns #Delta# Ennek a kvadratikus egyenletnek az értéke:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Ahhoz, hogy valódi megoldásokat találjunk, szükségünk van rá #Delta> = 0 # és aztán:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

hozzáad # 4ac-b ^ 2 # mindkét fél számára:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Ha #a> 0 # akkor egyszerűen két részre osztható # 4a # megkapja:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Ha #a <0 # akkor megoszthatjuk mindkét oldalt # 4a # és fordítsa meg az egyenlőtlenséget, hogy:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #