Kérdés # e8ab5

Válasz:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Magyarázat:

Először is, emlékezz rá, mit #cos (x + y) # jelentése:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Vegye figyelembe, hogy:

# (Sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

És:

# (Cosx + otthonos) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Most ezek a két egyenlet:

# Sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# Cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Ha összeadjuk őket, akkor:

# Sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Ne hagyja, hogy az egyenlet mérete eldobja. Keresse meg az identitásokat és az egyszerűsítéseket:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Mivel # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (Pythagorean Identity) és # Cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (Pythagorean Identity), egyszerűsíthetjük az egyenletet:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

A tényezőket kiszámíthatjuk #2# kétszer:

# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

És ossza meg:

# (Sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

És kivonjuk:

# Sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Végül pedig #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, nekünk van:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Adott

# Sinx + siny = egy ……. (1) #

# Cosx + otthonos = b ……. (2) #

Squaring és hozzáadás (1) és (2)

# (cosx + hangulatos) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Squaring és kivonás (1) (2)

# (cosx + hangulatos) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "From (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => Cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

Válasz:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Magyarázat:

# sinx + siny = a rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + hangulatos = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

osztása #(1)# által #(2)#, nekünk van, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Most, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Élvezze a matematikát!