Milyen f (x) = x / (x ^ 2 + 25) abszolút extrém az [0,9] intervallumban?

Válasz:

abszolút maximum: #(5, 1/10)#

abszolút minimum: #(0, 0)#

Magyarázat:

Adott: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "intervallumban" 0, 9 #

Az abszolút szélsőségeket a végpontok kiértékelésével és a relatív maximumok vagy minimális értékek megtalálásával és azok összehasonlításával lehet megtalálni # Y #-értékeket.

Végpontok értékelése:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~ ~ (9, 0,085) #

Keressen bármilyen relatív minimumot vagy maximumot a beállítással #f '(x) = 0 #.

Használja a hányados szabályt: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

enged #u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Mivel # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, csak a számláló = 0 értékét kell beállítanunk

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

kritikus értékek: # x = + - 5 #

Mivel a mi intervallumunk #0, 9#, csak meg kell néznünk #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Az első derivált teszt segítségével állítson be intervallumokat, hogy megtudja, hogy ez a pont relatív maximum vagy relatív minimum:

időközönként: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

tesztértékek: # "" x = 1 "" x = 6 #

#f '(x): "" f "(1)> 0, f' (6) <0 #

Ez azt jelenti, hogy nál nél #f (5) # relatív maximumunk van. Ez az intervallum abszolút maximális értékévé válik #0, 9#, mivel a # Y #- a pont értéke #(5, 1/10) = (5, 0.1)# a legmagasabb # Y #-érték az intervallumban.

** Az abszolút minimális érték a legalacsonyabb # Y #-érték a végpontban #(0,0)**.#