Mi a függvény abszolút extrémája: 2x / (x ^ 2 +1) zárt intervallumban [-2,2]?

Egy függvény abszolút extrémája zárt intervallumban # A, b # az adott intervallumban lehet helyi helyi extrém, vagy azok a pontok, amelyek ascissae #a vagy b #.

Tehát keressük meg a helyi extrémát:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#Y '> = 0 #

ha

# -X ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Tehát a mi funkciónk csökken #-2,-1)# és a #(1,2# és ez egyre növekszik #(-1,1)#, és így a lényeg #A (-1-1) # egy helyi minimum és a pont #B (1,1) # helyi maximum.

Most keressük meg a pontok ordinátáját az intervallum szélsőségénél:

#Y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) #

#Y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Így a jelöltek vannak:

#A (-1-1) #

#B (1,1) #

#C (-2, -4 / 5) #

#D (2,4 / 5) #

és könnyű megérteni, hogy az abszolút extrém # A # és # B #, amint látod:

grafikon {2x / (x ^ 2 +1) -2, 2, -5, 5}