Ha egy kockát dobsz, mi a várt számú tekercs, amire szükség van, hogy egyszerre minden számot tekerjünk?

Válasz:

# 14.7 "tekercs" #

Magyarázat:

#P "minden szám dobott" = 1 - P "1,2,3,4,5, vagy 6 nem dobott" #

#P "A vagy B vagy C vagy D vagy E vagy F" = P A + P B + … + P F - #

#P A és B - P A és C …. + P A és B és C + … #

# "Itt ez" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Ennek negatívja a valószínűségünk." #

#sum n * a ^ (n-1) = összeg (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) összeg a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = összeg n * P "minden n dobás után dobott szám" #

# = összeg n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "El kell vonnunk egyet a kezdeti feltétel miatt P_1 (0)" #

# "hibás értéket ad P = 1 n = 1 esetén." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Válasz:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Magyarázat:

Gondolj rá, mint hat mini-játék. Minden játékhoz dobjuk a kockát, amíg nem dobunk egy olyan számot, amelyet még nem hengereltünk - amit "győzelemnek" fogunk nevezni. Ezután elkezdjük a következő játékot.

enged #X# legyen a tekercsek száma, amelyre minden számot legalább egyszer kell forgatni (azaz nyerjen mind a 6 mini-játékot), és hagyja # # X_i legyen a mini-játékszám nyeréséhez szükséges tekercsek száma #én# (az #én# 1-től 6-ig). Akkor mindegyik # # X_i egy geometriai véletlen változó, eloszlással # "Geo" (p_i) #.

Az egyes geometriai véletlen változók várható értéke # 1 / # p_i.

Az első játékért # p_1 = 6/6 # mivel mind a 6 eredmény „új”. És így, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

A második játékhoz a 6 eredmény közül 5 új # P_2 = 5/6 #. És így, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

A harmadik játékhoz a 6 lehetséges tekercs közül 4 új # P_3 = 4/6 #, jelentése # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Ekkor láthatjuk a mintát. Mivel a "győztes" tekercsek száma 1-re csökken minden egyes új játék esetében, a "győztes" valószínűség minden egyes játékban csökken #6/6# nak nek #5/6#, azután #4/6#, stb., ami azt jelenti, hogy a játékonkénti tekercsek várható száma számít #6/6# nak nek #6/5#, nak nek #6/4#, és így tovább, az utolsó játékig, ahol azt várjuk, hogy 6 tekercset kap az utolsó számhoz.

És így:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (fehér) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (fehér) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (fehér) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (fehér) ("E" (X)) = 14,7 #