Mi a háromszög ortocentruma a sarkokkal (9, 5), (3, 8) és (5, 6)?

Válasz:

Lépések: (1) keresse meg a két oldal lejtőit (2), keresse meg az oldalakra merőleges vonalak lejtőit, (3) keresse meg a vonalak egyenleteit azokkal a lejtőkkel, amelyek áthaladnak az ellentétes csúcsokon, (4) megtalálják a pont, ahol ezek a vonalak kereszteződnek, ami az ortocentrum, ebben az esetben #(6.67, 2.67)#.

Magyarázat:

A háromszög ortocentrumának megtalálásához két oldalának lejtőit (színátmeneteit), majd az oldalakra merőleges vonalak egyenleteit találjuk.

Ezeket a lejtőket plusz az adott oldallal ellentétes pont koordinátáit használhatjuk, hogy megtaláljuk az ellentétes szögben áthaladó oldalakra merőleges vonalak egyenleteit: ezeket az oldalak „magasságának” nevezik.

Ahol a két oldal magassága keresztezi az ortocentrumot (a harmadik oldal magassága is áthaladna ezen a ponton).

Jelöljük meg a pontjainkat, hogy megkönnyítsük őket:

A pont = #(9, 5)#

B pont = #(3, 8)#

C pont = #(5, 6)#

A lejtő megkereséséhez használja a következő képletet:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Nem akarjuk ezeket a lejtőket, de a vonalak meredeksége (merőleges) őket. A vonal merőleges a meredekségre # M # van lejtője # -1 / m #, így a vonal merőleges # # AB van lejtője #-2# és a vonal merőleges #IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT# van lejtője #1#.

Most megtaláljuk a C pont (magasság AB) és az A (BC) ellentétes magasságainak egyenleteit, a pontok koordinátáinak helyettesítésével

# Y = mx + c #

A C pont esetében a magasság:

# 6 = -2 (5) + c # ami ad # C = 6 + 10 = 16 # ebből adódóan #y = -2x + 16 #

Hasonlóképpen az A pont esetében:

# 5 = 1 (9) + c # ami ad # C = 5-9 = -4 # így az egyenlet:

# Y = x-4 #

Ahhoz, hogy megtaláljuk az ortocentert, egyszerűen meg kell találnunk azt a pontot, ahol ezek a két vonal keresztezi magát. Összehasonlíthatjuk őket egymással:

# -2x + 16 = x-4 #

átrendezése, # 3x = 20 x x ~ 6.67 #

Helyettesítsük mindkét egyenletre a # Y # érték, ami #2.67#.

Ezért az orthocenter a lényeg #(6.67, 2.67)#.