Az A háromszög területe 15 és két oldala 4 és 9 hosszúságú. A B háromszög hasonló az A háromszöghöz, és a hosszúsága 12-es. Melyek a B háromszög maximális és minimális lehetséges területei?

Válasz:

135 és #~~15.8#, illetve.

Magyarázat:

A trükkös dolog ebben a problémában az, hogy nem tudjuk, hogy az eredeti háromszög fa oldala megfelel-e a hasonló háromszög 12-es hosszának.

Tudjuk, hogy a háromszög területe Heron képletéből számítható ki

#A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-x)} #

A mi háromszögünk van # A = 4 # és # B = 9 # és aztán # S = {13 + c} / 2 #, # s-a = {5 + c} / 2 #, # S-b = {c-5} / 2 # és # s-c = {13-c} / 2 #. És így

# 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 #

Ez egy négyzetes egyenlethez vezet # C ^ 2 #:

# c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0 #

ami vezet #c ~~ 11.7 # vagy #c ~~ 7,5

Tehát az eredeti háromszög oldalainak maximális és minimális értéke 11,7 és 4. Így a skálázási tényező maximális és minimális értéke #12/4=3# és #12/11.7~~ 1.03#. Mivel a terület mérete négyzet alakú, a hasonló háromszög területének legnagyobb és legkisebb lehetséges értékei # 15 xx 3 ^ 2 = 135 # és # 15 xx 1,03 ^ 2 ~~ 15.8 #, illetve.