Melyek az f (x) = (x ^ 3-x + 2) / ((x-x ^ 2) (1-x ^ 2)) aszimptotái és eltávolítható megszakításai?

Válasz:

Nincs.

Magyarázat:

Az eltávolítható megszakítások akkor fordulnak elő, ha a függvényt egy bizonyos ponton nem lehet értékelni, de a bal és a jobb oldali rész egyenlő egymással. Az egyik ilyen példa az x / x függvény. Ez a függvény nyilvánvalóan 1 (szinte) mindenhol, de nem tudjuk 0-nál értékelni, mert 0/0 nincs meghatározva. A bal és jobb oldali korlátok azonban 0-nál egyaránt 1, így "eltávolíthatjuk" a folytonosságot, és megadhatjuk a függvénynek 1 értéket x = 0-nál.

Ha a függvényt egy polinomfrakció határozza meg, akkor a megszakítások eltávolítása szinkronban van a törlő tényezőkkel. Ha van ideje, és tudod, hogyan kell megkülönböztetni a polinomokat, azt tanácsolom, hogy ezt bizonyítsd meg magadnak.

A polinom tényezője trükkös. Egyszerű módja van annak, hogy ellenőrizze, hogy hol vannak a folytonosságok. Először, találja meg az összes x-et úgy, hogy a nevező 0 legyen. Ehhez a nevezőt a következőképpen tehetjük meg:

# (x-x ^ 2) (1-x ^ 2) = x (1-x) (1-x) (1 + x) #

Az első kifejezés, amit egy x-es közös tényező kihúzásával elemeztem. A második kifejezés a négyzetek különbsége, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #.

Itt látható a nullák a nevezőben x = 0, x = 1, és x = -1.

A számláló faktorálása nélkül ellenőrizhetjük, hogy a nullák léteznek-e a számláló polinomjában. Ha igen, meg kell tennünk néhány faktoringot. Ha nem, akkor biztos lehet benne, hogy nincs olyan tényező, amely egyébként megszűnik.

#(0)^3-(0)+2 = 2#

#(1)^3-(1)+2 = 2#

#(-1)^3-(-1)+2 = 2#

Mindhárom esetben 2-et kaptunk, ami nem 0. Így megállapíthatjuk, hogy a nevezőben lévő nullák egyike sem egyezik a 0-val a számlálóban, így egyik folytonosság sem távolítható el.

Ezt a saját grafikus szoftverében is megnézheti. Meg fogja találni, hogy a függvény x = -1, 0 és 1-nél eltér. Ha a folytonosságok eltávolíthatóak lennének, viszonylag laposnak kell lenniük a folytonosság körüli régióban ahelyett, hogy eltérnek.