Kezdjük a funkció nélkül # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Ez a funkció biztosan megvan # X = 0 # gyökérként, hiszen mi meghatároztuk #x#.
A többi gyökér a megoldás # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, de ennek a parabolának nincs gyökere. Ez azt jelenti, hogy az eredeti polinomnak csak egy gyökere van.
Most egy polinom #p (X) # a páratlan fokozatnak mindig van legalább egy megoldása, mert van
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # és #lim_ {x a infty} p (x) = infty #
és #p (X) # folyamatos, ezért át kell haladnia #x# tengely bizonyos pontján.
A válasz a következő két eredményből származik:
- A fokozat polinoma # N # pontosan van # N # összetett gyökerek, de leginkább # N # igazi gyökerek
- Tekintettel a #f (X) #, a grafikon #f (x) + k # azonos alakú, de függőlegesen fordítva (felfelé, ha #k> 0 #, lefelé másképpen).
Szóval kezdjük # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, amelynek csak egy igazi gyökere van (és így két összetett gyökere), és átalakítjuk # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, ami azt jelenti, hogy lefordítjuk azt felfelé vagy lefelé, így nem változtatjuk meg a megoldások számát.
Néhány példa:
Eredeti funkció: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
grafikon {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Fordítás: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
grafikon {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Fordítás le: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
grafikon {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Mint látható, mindig van egy gyökér
Válasz:
Lásd lentebb
Magyarázat:
Alternatív, talán elegánsabb megoldás:
a polinom származéka # 3x ^ 2-4x + 2 #, amely egy parabola, amely gyökér nélkül van, és így mindig pozitív. Így, # F # jelentése:
- Monoton növekszik
- #lim_ {x a pm infty} f (x) = pm infty #
- # "Deg" (f) = 3 #
Az első két pont ezt mutatja # F # pontosan egy gyökere van, a harmadik pedig a másik két gyökér összetett.
