Mi az int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Válasz:

#= 1/4#

Magyarázat:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Válasz:

#1/4#

Magyarázat:

Ezt több módon is megtehetik, ezek közül kettő. Az első a helyettesítés használata:

#color (piros) ("1. módszer") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

enged #u = ln (x) azt jelenti, du = (dx) / x #

A korlátok átalakítása:

#u = ln (x) u: 0 rarr 1 #

Az integrál:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Ez az egyszerűbb mód, de lehet, hogy nem mindig tudsz helyettesíteni. Alternatívaként az integráció részekből áll.

#color (piros) ("2. módszer") #

Használjon integrációt részek szerint:

Funkciók #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) azt jelenti, hogy v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Hasonló kifejezések csoportosítása:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#az int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Mindazonáltal határozott integrálissal dolgozunk, így a korlátokat alkalmazva és a konstans eltávolításával:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

# int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #