Bizonyítsuk be, hogy a tápegység egy mező?

Válasz:

A készlet teljesítménykészlete kommutatív gyűrű az egyesülés és a kereszteződés természetes műveletei alatt, de nem egy művelet alatt álló mező, mivel nincsenek inverz elemek.

Magyarázat:

Bármelyik készletet # S #, fontolja meg a tápegységet # 2 ^ S # nak,-nek # S #.

Ennek természetes műveletei vannak az uniónak #u u# amely úgy viselkedik, mint az addíció, identitással # O / # és kereszteződés # Nn # amely egy identitással való szorzásként viselkedik # S #.

Részletesebben:

• # 2 ^ S # zárva van #u u#

  Ha #A, B 2 ^ S # azután #A uu B 2 ^ S #

• Van egy identitás # O / in 2 ^ S # mert #u u#

  Ha #A 2 ^ S # azután #A uu O / = O / uu A = A #

• #u u# asszociatív

  Ha #A, B, C 2 ^ S # azután #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• #u u# kommutatív

  Ha #A, B 2 ^ S # azután #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # zárva van # Nn #

  Ha #A, B 2 ^ S # azután #A nn B 2 ^ S #

• Van egy identitás #S 2 ^ S # mert # Nn #

  Ha #A 2 ^ S # azután #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # asszociatív

  Ha #A, B, C 2 ^ S # azután #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # kommutatív

  Ha #A, B 2 ^ S # azután #A nn B = B nn A #

• # Nn # balra és jobbra oszlik #u u#

  Ha #A, B 2 ^ S # azután #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  és # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Így # 2 ^ S # kielégíti az összes szükséges axiómát ahhoz, hogy kommutatív gyűrű legyen #u u# és szorzás # Nn #.

Ha #S = O / # azután # 2 ^ S # van egy eleme, nevezetesen # O / #, így nem rendelkezik különálló additív és multiplikatív identitásokkal, ezért nem egy mező.

Ellenkező esetben vegye figyelembe # S # nincs inverz alatti #u u# és # O / # nincs inverz alatti # Nn #. Így # 2 ^ S # nem képez teret az inverz elemek hiánya miatt.