# 35a7e kérdés

Válasz:

Amint az alábbi megjegyzésekben szerepel, ez a MacLaurin sorozat #f (x) = cos (x) #, és tudjuk, hogy ez konvergens # (- oo, oo) #. Ha azonban szeretné látni a folyamatot:

Magyarázat:

Mivel a nevezőben van egy tényező, a arány teszt, mivel ez megkönnyíti az egyszerűsítést. Ez a képlet:

#lim_ (N-> oo) (A_ (n + 1) / a_n) #

Ha ez <1, akkor a sorozat konvergál

Ha ez> 1, akkor a sorozata eltér

Ha ez = 1, akkor a teszt nem meggyőző

Tehát tegyük ezt:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ K ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Megjegyzés: Legyünk nagyon óvatosak a (k + 1) csatlakoztatásakor. 2k 2 (k + 1), NOT 2k + 1 lesz.

Szorozva a. T # X ^ (2k) / ((2k)!) # ahelyett, hogy csak egy kicsit megkönnyítené a munkát.

Most, hadd algebra. Az abszolút érték miatt a váltakozó kifejezések (azaz a # (- 1) ^ k #) csak törlésre kerülnek, mivel mindig pozitív választ fogunk kapni:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Megszakíthatjuk # X ^ (2k) #„S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Most törölnünk kell a tényeket.

Emlékezzünk erre # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Is, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Értesítés:

# (2k)! = szín (piros) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * szín (piros) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Mint láthatod, mi # (2k)! # lényegében része # (2k + 2)!. Ezt az összes közös kifejezés törléséhez használhatjuk:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Törlés (szín (piros) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * törlés (szín (piros) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Ez elhagyja

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Most értékelhetjük ezt a korlátot. Ne feledje, hogy mivel ezt a korlátot nem vesszük figyelembe #x#, ki tudjuk számolni:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Tehát, mint látható, ez a határérték 0, ami kevesebb, mint 1. Most kérdezzük meg magunktól: van-e értéke #x# amelyre ez a határérték 1? És a válasz nem, mivel a 0-val megszorozva 0.

Szóval, mivel #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) <1 # minden értékhez #x#mondhatjuk, hogy a konvergencia intervallumában van # (- oo, oo) #.

Remélem, hogy segített:)