Mi a háromszög ortocentruma a sarkokkal (5, 2), (3, 7) és (4, 9) #?

Válasz:

#(-29/9, 55/9)#

Magyarázat:

Keresse meg a háromszög orthocenterjét, ahol a csúcsok vannak #(5,2), (3,7),(4,9)#.

Megnevezem a háromszöget # # DeltaABC val vel # A = (5,2) #, # B = (3,7) # és # C = (4,9) #

Az orthocenter a háromszög magasságainak metszéspontja.

A magasság olyan vonalszakasz, amely egy háromszög csúcsán halad át, és merőleges az ellenkező oldalra.

Ha a három magasság bármelyikének metszéspontját találja, ez az ortocentrum, mert a harmadik magasság ezen a ponton is metszi a többit.

A két magasság kereszteződésének megtalálásához először meg kell találni a két magvonalat, amelyek a magasságot reprezentálják, majd azokat egyenletrendszerben oldják meg a kereszteződésük megtalálásához.

Először a vonalszakasz meredekségét találjuk #A és B # a lejtő képlet segítségével # M = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} #

#m_ (AB) = frac {7-2} {3-5} = - 5/2 #

Az e vonalszakaszra merőleges meredekség az ellentétes jel a reciprok #-5/2#, ami #2/5#.

A pont lejtő képlet használatával # Y-y_1 = m (x-x_1) # megtaláljuk a csúcspont magasságának egyenletét # C # oldalra # # AB.

# Y-9 = 2/5 (X-4) #

# y-9 = 2/5 x -8 / 5 #

# -2 / 5x + y = 37 / 5color (fehér) (aaa) # vagy

# y = 2/5 x + 37/5 #

A második magasság egyenletének megkereséséhez keresse meg a háromszög egyik másik oldalának lejtését. Válasszunk BC-t.

#m_ (BC) = frac {9-7} {4-3} = 2/1 = 2 #

A merőleges meredekség van #-1/2#.

A csúcspont magasságának egyenletének megkeresése # A # oldalra #IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT#, ismét használja a pont lejtő képletet.

# Y-2 = -1 / 2 (X-5) #

# y-2 = -1 / 2x + 5/2 #

# 1/2 x + y = 9/2 #

Az egyenletek rendszere

#color (fehér) (a ^ 2) 1/2 x + y = 9/2 #

# -2 / 5x + y = 37/5 #

Ennek a rendszernek a megoldása #(-29/9, 55/9)#