Hogyan használjuk a binomiális sorozatot az sqrt (1 + x) kibővítésére?

Válasz:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = összeg (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # val vel #x a CC # -nél

Használja a binomiális képlet általánosítását komplex számokra.

Magyarázat:

A binomiális képlet általánosítása a komplex számokra vonatkozik.

Úgy tűnik, hogy az általános binomiális sorozat képlete # (1 + z) ^ r = összeg ((r) _k) / (k!) Z ^ k # val vel # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (Wikipédia szerint). Alkalmazzuk a kifejezést.

Ez nyilvánvalóan hatalmi sorozat, ha esélyünk van arra, hogy ez nem tér el egymástól, meg kell állítanunk #absx <1 # és ez az, ahogyan kibővülsz #sqrt (1 + x) # a binomiális sorozattal.

Nem fogom bizonyítani, hogy a képlet igaz, de ez nem túl nehéz, csak azt kell látnod, hogy az összetett függvény, amit az # (1 + z) ^ r # holomorphikus az egység lemezén, kiszámítja az összes származékát 0-nál, és ez adja meg a funkció Taylor-képletét, ami azt jelenti, hogy az egység lemezen teljesítménysorozatként fejlesztheti azt, mert #absz <1 #, ezért az eredmény.