Hogyan használjuk a binomiális sorozatot az sqrt (z ^ 2-1) kibővítésére?

Válasz:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Magyarázat:

Nagyon szeretem a kettős ellenőrzést, mert fizikai hallgatóként ritkán túllépek # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # kicsi x-nek, így kicsit rozsdás vagyok. A binomiális sorozat a binomiális tétel egy speciális esete, amely azt állítja

# (1 + x) ^ n = összeg_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Val vel # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Mi van # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, ez nem a megfelelő forma. Ennek orvoslásához emlékezzen erre # i ^ 2 = -1 # így van:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Ez most a megfelelő formában van #x = -z ^ 2 #

Ezért a bővítés a következő lesz:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #