Mi az int tan ^ 4x dx integrációja?

Válasz:

# (Tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Magyarázat:

A triggenerátorok megoldása általában magában foglalja az integrál lebontását a pythagorean identitások alkalmazásához, és az a # U #-helyettesítés. Pontosan ezt fogjuk tenni itt.

Kezdje újraírással # Inttan ^ 4xdx # mint # Inttan ^ ^ 2xtan 2xdx #. Most alkalmazhatjuk a Pythagorean Identityt # Tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, vagy # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

A # Tan ^ 2x #:

#COLOR (fehér) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xtan ^ 2xdx #

Az összegszabály alkalmazása:

#COLOR (fehér) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Ezeket az integrálokat egyenként értékeljük.

Első integrál

Ezt egy a # U #-helyettesítés:

enged # U = tanx #

# (Du) / dx = sec ^ 2x #

# Du = sec ^ 2xdx #

A helyettesítés alkalmazása

#COLOR (fehér) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = Intu ^ 2DU #

#COLOR (fehér) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Mert # U = tanx #, # Intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 +, C #

Második integrál

Mivel nem igazán tudjuk, mi # Inttan ^ 2xdx # csak azáltal, hogy megnézem, próbálja meg alkalmazni a # Tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # identitás ismét:

# Inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Az összegszabály használatával az integrál az alábbiakra fordul:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Ezek közül az első, # Intsec ^ 2xdx #, csak # Tanx +, C #. A második, az úgynevezett „tökéletes integrál” egyszerűen # X + C #. Mindent együtt lehet mondani:

# Inttan ^ 2xdx = tanx + C-X +, C #

És mert # C + C # csak egy önkényes konstans, egy általános konstansra kombinálhatjuk # C #:

# Inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

A két eredmény kombinálása:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Újra, mert # C + C # egy állandó, csatlakozhatunk egybe # C #.