Mi a (4, 9), (7, 4) és (8, 1) # sarokban lévő háromszög orthocenterje?

Válasz:

orthocenter: #(43,22)#

Magyarázat:

Az orthocenter a háromszög minden magasságának metszéspontja. Ha egy háromszög három koordinátáját kapjuk, akkor két egyenletet találunk a két magasságra, majd találjuk meg, hol keresztezik az ortocentert.

Hívjuk #COLOR (piros) ((4,9) #, #COLOR (kék) ((7,4) #, és #COLOR (zöld) ((8,1) # koordináták #COLOR (piros) (A #,# szín (kék) (B #, és #COLOR (zöld) (C # illetőleg. A vonalakhoz egyenleteket találunk #COLOR (bíbor) (AB # és #COLOR (cornflowerblue) (BC #. Ahhoz, hogy ezeket az egyenleteket megtaláljuk, szükségünk lesz egy pontra és egy lejtőre. (A pont-lejtés képletet fogjuk használni).

Megjegyzés: A magasság meredeksége merőleges a vonalak meredekségére. A magasság megérint egy vonalat és a vonalon kívüli pontot.

Először foglalkozzunk #COLOR (bíbor) (AB #:

Lejtő: #-1/({4-9}/{7-4})=3/5#

Pont: #(8,1)#

Egyenlet: # Y-1 = 3/5 (X-8) -> színes (bíbor) (y = 3/5 (X-8) + 1 #

Akkor keressük meg #COLOR (cornflowerblue) (BC #:

Lejtő: #-1/({1-4}/{8-7})=1/3#

Pont: #(4,9)#

Egyenlet: # Y-9 = 1/3-(X-4) -> színes (cornflowerblue) (y = 1/3-(X-4) + 9 #

Most az egyenleteket egyenlővé tesszük egymással, és a megoldás az orthocenter lenne.

#COLOR (bíbor) (3/5 (X-8) +1) = szín (cornflowerblue) (1/3 (X-4) + 9 #

# (3x) / 5-24 / 5 + 1 = (x) / 3-4 / 3 + 9 #

# -24/5 + 1 + 4 / 3-9 = (x) / 3- (3x) / 5 #

# -72/15 + 15/15 + 20 / 15-135 / 15 = (5x) / 15- (9x) / 15 #

# -172/15 = (- 4x) / 15 #

#COLOR (darkmagenta) (X = -172 / 15 * -15 / 4 = 43 #

Csatlakoztassa a #x#-érték vissza az egyik eredeti egyenletbe, hogy megkapja az y-koordinátát.

# Y = 3/5 (43-8) + 1 #

# Y = 3/5 (35) + 1 #

#COLOR (korall) (y = 21 + 1 = 22 #

orthocenter: # (Színes (darkmagenta) (43), színes (korall) (22)) #

Az A háromszög területe 12 és két oldala 6 és 9 hosszúságú. A B háromszög hasonló az A háromszöghöz, és a hosszúsága 12-es. Melyek a B háromszög maximális és minimális lehetséges területei?

A maximális 48 terület és a minimális terület 21.3333 ** A delta A és B hasonló. A Delta B maximális területének eléréséhez a Delta B 12-es oldala a Delta A 6-os oldalának feleljen meg. Az oldalak 12: 6 arányban vannak, így a területek 12 ^ 2: 6 ^ 2 = 144 arányban lesznek. 36 Háromszög maximális területe B = (12 * 144) / 36 = 48 A minimális terület eléréséhez hasonlóan a Delta A 9. oldala a Delta B 12-es oldalának felel meg. Az oldalak 12: 9-es és 144: 81-es tartományban

Az A háromszög területe 12 és két oldala 6 és 9 hosszúságú. A B háromszög hasonlít az A háromszöghöz, és 15 oldal hosszúságú oldala van. Melyek a B háromszög maximális és minimális lehetséges területei?

A A és B delta hasonló. Ahhoz, hogy a Delta B maximális területét megkapjuk, a Delta B 15-ös oldalának meg kell felelnie a Delta A 6-os oldalának. Az oldalak aránya 15: 6, ezért a területek 15 ^ 2: 6 ^ 2 = 225 arányban lesznek. 36 A B háromszög maximális területe (12 * 225) / 36 = 75 A minimális terület eléréséhez hasonlóan a Delta A 9. oldala a Delta B 15-ös oldalának felel meg. Az oldalak aránya 15: 9 és 225: 81. A Delta B minimális területe (12 * 225) / 81 = 33,3333

Bizonyítsuk be a következő állítást. Legyen ABC bármilyen jobb háromszög, a C pontban a megfelelő szög. A C-től a hipotenuszhoz vezető magasság a háromszöget két, egymáshoz és az eredeti háromszöghez hasonló háromszögre osztja?

Lásd lentebb. A kérdés szerint a DeltaABC egy jobb háromszög, amelyen a / _C = 90 ^ @, és a CD a hypotenuse AB magassága. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy / _ABC = x ^ @. Tehát, szögBAC = 90 ^ @ - x ^ @ = (90 - x) ^ @ Most, CD merőleges AB. Szóval, szögBDC = szögADC = 90 ^ @. DeltaCBD-ben a szögBCD = 180 ^ @ - szögBDC - szögCBD = 180 ^ @ - 90 ^ @ - x ^ @ = (90 -x) ^ @ Hasonlóan, szögACD = x ^ @. Most DeltaBCD és DeltaACD esetén a CBD szög ACD szöge és a BDC szög szög. Tehát AA hasonló