Mi a valószínűsége annak, hogy megnyerjük a következő végtelenül ismétlődő játékot?

Válasz:

# "Válasz D)" #

Magyarázat:

# "Ez az egyetlen logikus válasz, a többiek lehetetlenek." #

# "Ez a játékos pusztítási problémája."

# "A játékos dollárral kezdődik." #

# "Játszik mindaddig, amíg el nem éri a G dollárt vagy az ősszel vissza." #

#p = "esélye, hogy 1 dollárt nyer egy játékban." #

#q = 1 - p = "esélye, hogy 1 dollárt veszít egy játékban." #

# "Call" r_k "a valószínűsége (esélye), amit tönkrement." #

# "Akkor van" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "a" 1 <= k <= G-1 #

# "Ezt az egyenletet a p + q = 1 miatt a következőképpen írhatjuk át:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Most itt van az esetünk" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = összeg_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = összeg_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Az" r_k "számára" #

#r_k - r_0 = összeg_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Tehát az A játékos itt k = egy dollárral kezdődik és addig játszik, amíg" #

# "tönkremegy vagy + b dollárral rendelkezik." #

# => k = a, "és" G = a + b #

# "Tehát az esélye, hogy tönkremegy," #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "A nyereményszorzók" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "D válasz" #