Az aritmetikai progresszió közös különbségének negyedik ereje egész számokkal egészül ki, melyet bármely négy egymást követő feltétel termékéhez adunk. Bizonyítsuk be, hogy a kapott összeg egy egész szám négyzete?

Legyen az egész számok közös különbsége # # 2d.

A progresszió bármely négy egymást követő időtartama képviselhető # a-3d, a-d, a + d és a + 3d #, hol # A # egész szám.

Tehát a négy kifejezés és a közös különbség negyedik erejének összege # (2d) ^ 4 # lesz

# = szín (kék) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + szín (piros) ((2d) ^ 4) #

# = Színe (kék) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + színes (piros) (16d ^ 4) #

# = Színe (kék) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + színű (piros) (16d ^ 4) #

# = Szín (zöld) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = Szín (zöld) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, ami egy tökéletes tér.