Melyek a (z-1) ^ 3 = 8i megoldások?

Válasz:

#z {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Magyarázat:

Ehhez a problémához tudnunk kell, hogyan kell megtalálnunk # N ^ "én" # komplex szám gyökerei. Ehhez használjuk az identitást

# e ^ (itheta) = cos (teta) + izin (theta) #

Ezen identitás miatt bármilyen komplex számot képviselhetünk

# a + bi = Re ^ (itheta) # hol #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # és #theta = arctan (b / a) #

Most megyünk át a lépéseket, hogy megtaláljuk a # 3 ^ "RD" # komplex szám gyökerei # A + bi #. A lépések a # N ^ "én" # a gyökerek hasonlóak.

Adott # a + bi = Re ^ (itheta) # minden komplex számot keresünk # Z # oly módon, hogy

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Mint # Z # egy komplex szám, létezik # # R_0 és # # Theta_0 oly módon, hogy

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Azután

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Ebből azonnal megvan # R_0 = R ^ (1/3) #. Mi is egyenértékűek az exponensek # E #, de megjegyezve, hogy szinuszként és koszinnal időszakos # # 2pi, akkor az eredeti identitásból, # E ^ (itheta) # is lesz. Akkor van

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # hol #k a ZZ-ben

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # hol #k a ZZ-ben

Azonban, mintha hozzáadnánk # # 2pi újra és újra ugyanazokat az értékeket fogjuk elérni, a korlátozás hozzáadásával figyelmen kívül hagyhatjuk a redundáns értékeket # theta_0 0, 2pi) #, vagyis #k {0, 1, 2} #

Mindent összevetve megkapjuk a megoldást

#z {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (teta + 4pi) / 3)} #

Ezt vissza tudjuk alakítani # A + bi # ha szükséges, az identitás használatával

# e ^ (itheta) = cos (teta) + izin (theta) #

A fentiek alkalmazása a problémára:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

A fenti folyamat segítségével megtalálhatjuk a # 3 ^ "RD" # gyökerei #én#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

alkalmazása # e ^ (itheta) = cos (teta) + izin (theta) # nekünk van

# i ^ (1/3) {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Végül ezeket az értékeket helyettesítjük #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #