Hogyan egyszerűsítheti a 2cos ^ 2 (4θ) -1-et kettős szögű képlettel?

Válasz:

# 2 cos ^ 2 (4eta) - 1 = cos (8eta) #

Magyarázat:

Számos dupla szögű képlet létezik a koszinusz számára. Általában az előnyben részesített az, aki egy kozint egy másik kozinussá alakít:

cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Valójában két irányba tudjuk ezt a problémát megoldani. A legegyszerűbb mód # X = 4 theta # így kapunk

# cos (8eta) = 2 cos ^ 2 (4eta) - 1 #

ami egyszerűsített.

A szokásos út az, hogy ezt a következőképpen érjük el # théta #. Kezdjük a bérbeadással # X = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 théta) - 1 #

# = 2 ^ 2 (2 (2 hetes)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 heta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 heta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Ha beállítjuk # x = a theta # mi lenne a nyolcadik Chebyshev-i polinomja, # T_8 (X) #, kielégítő

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Azt hiszem, az első út valószínűleg az volt, amit követnek.