Mi az f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx, ha f (pi / 6) = 1?

Válasz:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 mp ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Magyarázat:

Kezdjük az integrál három részre osztásával:

#int e ^ xcos (x) dx-int ^ 3 (x) dx + int sin (x) xx = #

# = int ^ xcos (x) dx-int ^ 3 (x) xx-cos (x) #

A bal oldali integrál 1-et és a jobb oldali Integral 2-t hívom

Integrál 1

Itt integrációra van szükség részek és egy kis trükk segítségével. Az összetevők integrálására szolgáló képlet:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) xx

Ebben az esetben elengedem #f (x) = e ^ x # és #G '(x) = cos (x) #. Ezt megkapjuk

#f '(x) = e ^ x # és #G (x) = sin (x) #.

Ez teszi az integrálunkat:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) x # #

Most ismét részlegesen alkalmazhatjuk az integrációt, de ezúttal #G '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) x # #

Most hozzáadhatjuk a mindkét oldal szerves részét, így:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) +, C #

Integrál 2

Először használhatjuk az identitást:

#tan (teta) = sin (théta) / cos (théta) #

Ez adja meg:

#int ^ 3 (x) dx = int ^ ^ (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x x # #

Most használhatjuk a pythagorai identitást:

# Sin ^ 2 (teta) = 1-cos ^ 2 (théta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) x # #

Most bevezethetjük az u-helyettesítést # U = cos (x) #. Ezután megosztjuk a származékos ügyletet, # -Sin (X) # integrálni # U #:

# -int (törlés (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (törlés (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^) 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Az eredeti integrál befejezése

Most, hogy ismerjük az Integral 1-et és az Integral 2-t, visszacsatolhatjuk őket az eredeti integrálba, és egyszerűsíthetjük, hogy megkapjuk a végső választ:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 mp ^ 2 (x) -cos (x) +, C #

Most, hogy ismerjük az antiderivatívot, megoldhatjuk az állandó értéket:

#f (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2 mp ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Ez azt jelenti, hogy a funkciónk:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 mp ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #