Legyen G ciklikus csoport és G = 48. Hogyan találja meg a G összes alcsoportját?

Válasz:

Az alcsoportok mind ciklikusak, rendelések osztásával #48#

Magyarázat:

A ciklikus csoport minden alcsoportja ciklikus, a csoportok sorrendjének megosztói.

Hogy miért, tegyük fel # G = <a> # ciklusos a sorrendben # N # és #H sube G # egy alcsoport.

Ha # a ^ m H-ban és # a ^ n a H #, akkor így van # A ^ (pm + qn) # minden egész számra #p, q #.

Így # a ^ k H-ban hol #k = GCF (m, n) # és mindkettő # Egy ^ m # és # A ^ n # benne van # <a ^ k> #.

Különösen, ha # a ^ k H-ban val vel #GCF (k, N) = 1 # azután #H = <a> = G #.

Nem is, ha #mn = N # azután # <a ^ m> # egy alcsoport # G # rendeléssel # N #.

Megállapíthatjuk:

• # H # nem több, mint #1# generátor.
• A sorrendje # H # a tényező # N #.

Példánkban # N = 48 # és az alcsoportok izomorfok:

# # C_1, # # C_2, # # C_3, # # C_4, # # C_6, # # C_8, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

lény:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #