Mekkora egy olyan téglalap maximális területe, amelynek kerülete 116 m?

Válasz:

A terület, #A = 841 "m" ^ 2 #

Magyarázat:

L = L hossza

Legyen W = a szélesség

A kerület, #P = 2L + 2W #

Adott: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

W megoldása L-ben:

#W = 58 "m" - L "1" #

A terület, #A = LW "2" #

A 1 egyenlet jobb oldalát helyettesítse a 2 egyenletre:

#A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

Ahhoz, hogy megkapjuk az L értéket, amely maximalizálja a területet, számolja ki az első deriváltját L-hez képest, állítsa 0-ra, és oldja meg az L-t:

Az első származék:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

Állítsa 0-ra!

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

Használja az 1 egyenletet a W értékének megtalálásához:

#W = 58 "m" - 29 "m" #

#W = 29 "m" #

Ez azt mutatja, hogy a maximális területet létrehozó téglalap négyzet. A terület:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

Válasz:

# 841m ^ 2 #.

Magyarázat:

Ezt a problémát a Algebrai módszerek. Mint a

Második megoldás, megoldjuk azt Számítás

enged #l és w # legyen a téglalap hossza és szélessége, ill.

Ezután a téglalap területe# = LW. #

Akkor, mi van, # 2 (l + w) = 116, vagy (l + w) / 2 = 29 #.

Itt az alábbiakat használjuk AGH egyenlőtlenség valódi nos.:

Ha A, G és H a Aritmetikai, geometriai és harmonikus eszközök

nak,-nek # a, b RR ^ + uu {0} "ill.," A> = G> = H. #

# "Itt," A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b).

Ennélfogva, # (l + w) / 2> = sqrt (lw), vagy ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

Ez azt jelenti, # "a terület =" lb <= (29) ^ 2 #

Ezért a maximális a téglalap területe# = 841m ^ 2 #.