Mi az e ^ (- 2x) taylori kiterjesztése x = 0 középpontjában?

Válasz:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Magyarázat:

A taylor-sorozat esete körül bővült #0# Maclaurin sorozatnak nevezik. A Maclaurin sorozat általános képlete:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Funkciónk sorozatának kidolgozásához egy funkcióval kezdhetjük # E ^ x # majd használd ezt, hogy kitaláljuk a képletet #e ^ (- 2x) #.

A Maclaurin sorozat megalkotásához meg kell találnunk az N # E ^ x #. Ha néhány származékot veszünk, elég gyorsan láthatunk egy mintát:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

Tény, hogy az n # E ^ x # csak # E ^ x #. Ezt a Maclaurin képlethez csatlakoztathatjuk:

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ OOE ^ 0 / (n!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #

Most, hogy van egy taylor sorozatunk # E ^ x #, csak kicserélhetjük az összeset #x#együtt van # # -2x sorozathoz #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

melyik sorozatot kerestük.