Mi az egységvektor, amely ortogonális a (-i + j + k) és (3i + 2j - 3k) síkkal?

Válasz:

Itt két egységvektor található, a műveletek sorrendjétől függően. Ők # (- 5i + 0j -5k) # és # (5i + 0j 5k) #

Magyarázat:

Ha két vektor kereszttermékét veszi, akkor kiszámítja a vektorot, amely ortogonális az első kettővel. Azonban a megoldás # # VecAoxvecB általában egyenlő és ellentétes # # VecBoxvecA.

Gyorsfrissítésként egy kereszttermék # # VecAoxvecB 3x3 mátrixot épít ki, amely úgy néz ki, mint:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

és minden egyes kifejezést úgy kap, hogy a balról jobbra haladó átlós kifejezések termékét az adott egység vektor betűjéből (i, j vagy k) kezdve kivonja a jobbról balra haladó átlós értékeket, a ugyanaz az egység vektor betűje:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

A két megoldás esetében állítsa be:

#vecA = - i + j + k #

# VecB = 3i + 2j-3K #

Nézzük mindkét megoldást:

1. # # VecAoxvecB

Ahogy a fentiekben írják:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#COLOR (piros) (vecAoxvecB = -5i + 0J-5K #

1. # # VecBoxvecA

Az első összetétel flip-eként vegye újra az átlót, de a mátrix másképp alakul:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Figyeljük meg, hogy a kivonások körül forognak. Ez okozza az „egyenlő és ellentétes” formát.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# VecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#COLOR (kék) (vecBoxvecA = 5i + 0J + 5k #