Melyek az f (x) = xlnx-xe ^ x helyi extrémái?

Válasz:

Ez a funkció nem rendelkezik helyi szélsőséggel.

Magyarázat:

#f (x) = xlnx-xe ^ x azt jelenti, hogy #

#g (x) egyenlet f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

mert #x# helyi szélsőségessé válik #G (X) # nullának kell lennie. Most megmutatjuk, hogy ez nem fordul elő semmilyen valós értéknél #x#.

Vegye figyelembe, hogy

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

És így #G ^ '(x) # eltűnik, ha

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Ez egy transzcendentális egyenlet, amely numerikusan megoldható. Mivel #g ^ '(0) = + oo # és #G ^ '(1) = 1-3e <0 #, a gyökér 0 és 1 között van #g ^ {''} (0) <0 # mindenki számára pozitív #x#, ez az egyetlen gyökér, és ez megfelel egy maximumnak #G (X) #

Elég könnyű megoldani az egyenletet numerikusan, és ez azt mutatja #G (X) # van egy maximális nál nél # X = 0,3152 # és a maximális érték #g (0.3152) = -1.957 #. Mivel a maximális érték #G (X) # negatív, nincs értéke #x# ahol #G (X) # eltűnik.

Lehet, hogy tanulságos, ha ezt grafikusan megvizsgáljuk:

grafikon {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Ahogy a fenti grafikonból látható, a funkció #f (X) # valójában egy maximum # X = 0 # - de ez nem egy helyi maximum. Az alábbi grafikon ezt mutatja #g (x) ekviv f ^ '(x) # soha nem veszi a nullát.

grafikon {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0,075}